Chủ đề này có 2 trả lời

[thuylinh_909]

Chứng minh $c_0$ là không gian metric đầy

Hình gửi kèm

• 

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Bài này bạn đã giải ra chưa? Để chứng minh một không gian là đầy đủ, thì ta cần chứng minh rằng mọi dãy cauchy là hội tụ về một phần tử nằm trong không gian đó.

 

Giả sử ta có $\{X^n\}$ là một dãy Cauchy trong $c_0$. Ở đây mình dùng superscript để chỉ phần tử của dãy, còn subscript để chỉ ra thành phần của một phần tử đó. Ví dụ như $X^3$ là một phần tử trong $c_0$, tức là nó là một dãy, nên ta có thể ghi $X^3=\{X_1^3, X_2^3, X_3^3,...,X_n^3,...\}$. 

Dãy $\{X^n\}$ hội tụ có nghĩa là $\rho(X^n,X^m)\to 0$ khi $m, n\to \infty$. Giờ ta cần chứng minh rằng dãy $X^n\to X$, với $X$ là một phần tử nào đó trong $c_0$. Để dễ hình dung, ta viết như sau:

$X^1=\{X_1^1,X_2^1,...,X_n^1,...\}$

$X^2=\{X_1^2,X_2^2,...,X_n^2,...\}$

$X^3=\{X_1^3,X_2^3,...,X_n^3,...\}$

....

$X=\{X_1,X_2,...,X_n,...\}$.

 

Ý tưởng là ta định nghĩa một $X=\{X_n\}$, với $X_j=\lim_{k\to\infty}X_j^k$. 

 

Bạn có thể kiểm tra rằng, dãy $X$ chính là dãy cần tìm. Tức là, hãy chứng minh rằng $X=\lim_{n\to\infty}X^n$, và $X\in c_0$.

[thuylinh_909]

Cảm ơn bạn nhé ! Thực ra bài này cũng không khó chỉ có điều hơi trìu tượng một chút và viết rành mạch ra là được. ý tưởng xây dựng dãy $X$ như vậy khá hay ))