Chủ đề này có 2 trả lời

[NguyenDangHuyYTNA]

$Cho nguyên tố dạng 4k+3,n là số nguyên dương.CMR P(x)=(x^2+1)^n+p  bất khả quy$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenDangHuyYTNA: 25-05-2015 - 11:20

[quanchun98]

Bài này sử dụng tiêu chuẩn Schonemann's: Cho $A(x)=f^{n}(x)+pg(x)$ với $n\geq 1$, p là số nguyên tố và f,g là đa thức hệ số nguyên sao cho $degf^{n}>degg$. Giả sử tồn tại p để $\bar{f}$ bất khả quy trong $\mathbb{Z}_{p}[x]$ và $\bar{g}$ không chia hết cho $\bar{f}$. Khi đó A BKQ trong $\mathbb{Z}[x]$.

Chứng minh: Giả sử $A[x]=A_{1}[x].A_{2}[x]$ với $degA_{1}\geq 1, degA_{2}\geq 1$. Xét trong $\mathbb{Z}_{p}[x]$ ta có $\bar{A_{1}}.\bar{A_{2}}=\left ( \bar{f} \right )^{n}$. Từ đó suy ra tồn tại $g_{1},g_{2}\in \mathbb{Z}[x]$ và các số nguyên u,v sao cho u+v=n và $A_{1}=f^{u}+pg_{1},A_{2}=f^{v}+pg_{2}$ trong đó $degg_{1}<udegf$ và $degg_{2}<vdegf$. Từ đây suy ra $g=f^{u}g_{2}+f^{v}g_{1}+pg_{1}g_{2}$ (1). Do $A_{1}\neq 1$ nên u>0 và v>0. Giả sử $u\leq v$, khi đó từ (1) suy ra tồn tại $h\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $g=f^{u}.h+pg_{1}g_{2}$. Chuyển qua  $\mathbb{Z}_{p}[x]$ ta được $\bar{g}$ chia hết cho $\bar{f}$, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy A BKQ trong $\mathbb{Z}[x]$.

Trở lại bài toán: Vì p là số nguyên tố có dạng 4k+3 nên phương trình $x^{2}+1\equiv 0\left ( mod p \right )$ vô nghiệm, do đó $x^{2}+1$ BKQ trong   $\mathbb{Z}_{p}[x]$. Áp dụng tiêu chuẩn trên với $f\left ( x \right )=x^{2}+1,g\left ( x \right )=1$ ta suy ra P(x) BKQ trong $\mathbb{Z}[x]$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanchun98: 26-05-2015 - 16:18

[canhhoang30011999]

Bài này sử dụng tiêu chuẩn Schonemann's: Cho $A(x)=f^{n}(x)+pg(x)$ với $n\geq 1$, p là số nguyên tố và f,g là đa thức hệ số nguyên sao cho $degf^{n}>degg$. Giả sử tồn tại p để $\bar{f}$ bất khả quy trong $\mathbb{Z}_{p}[x]$ và $\bar{g}$ không chia hết cho $\bar{f}$. Khi đó A BKQ trong $\mathbb{Z}[x]$.

Chứng minh: Giả sử $A[x]=A_{1}[x].A_{2}[x]$ với $degA_{1}\geq 1, degA_{2}\geq 1$. Xét trong $\mathbb{Z}_{p}[x]$ ta có $\bar{A_{1}}.\bar{A_{2}}=\left ( \bar{f} \right )^{n}$. Từ đó suy ra tồn tại $g_{1},g_{2}\in \mathbb{Z}[x]$ và các số nguyên u,v sao cho u+v=n và $A_{1}=f^{u}+pg_{1},A_{2}=f^{v}+pg_{2}$ trong đó $degg_{1}<udegf$ và $degg_{2}<vdegf$. Từ đây suy ra $g=f^{u}g_{2}+f^{v}g_{1}+pg_{1}g_{2}$ (1). Do $A_{1}\neq 1$ nên u>0 và v>0. Giả sử $u\leq v$, khi đó từ (1) suy ra tồn tại $h\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $g=f^{u}.h+pg_{1}g_{2}$. Chuyển qua  $\mathbb{Z}_{p}[x]$ ta được $\bar{g}$ chia hết cho $\bar{f}$, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy A BKQ trong $\mathbb{Z}[x]$.

Trở lại bài toán: Vì p là số nguyên tố có dạng 4k+3 nên phương trình $x^{2}+1\equiv 0\left ( mod p \right )$ vô nghiệm, do đó $x^{2}+1$ BKQ trong   $\mathbb{Z}_{p}[x]$. Áp dụng tiêu chuẩn trên với $f\left ( x \right )=x^{2}+1,g\left ( x \right )=1$ ta suy ra P(x) BKQ trong $\mathbb{Z}[x]$.

cho em hỏi khi nào thì $\bar{f}$ bất khả quy trong $\mathbb{Z}_{p}[x]$