Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm max của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết

1,Cho $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ 0\leq x;y;z\leq 2 & \end{matrix}\right.$

Tìm max của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

2,Cho $a+b+c=1$

Tìm min của $P=(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}+(c+\frac{1}{c})^{2}$



#2
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

1,Cho $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ 0\leq x;y;z\leq 2 & \end{matrix}\right.$

Tìm max của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

2,Cho $a+b+c=1$

Tìm min của $P=(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}+(c+\frac{1}{c})^{2}$

1. Vì $x,y,z\in [0;2]=> (2-x)(2-y)(2-z)+xyz\geq 0<=>2\sum xy\geq 4$

 Lại có : $\sum x^2=9-2\sum xy\leq 9-4=5$

 Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(0,1,2)$ và các hoán vị

2. Theo Cauchy-Schwarz thì :$P\geq \frac{1}{3}.\left ( \sum a +\sum \frac{1}{a}\right )^2\geq \frac{1}{3}.\left ( \sum a+\frac{9}{\sum a} \right )^2=\frac{100}{3}$

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 25-05-2015 - 19:27


#3
shinichikudo201

shinichikudo201

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

1,Cho $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ 0\leq x;y;z\leq 2 & \end{matrix}\right.$

Tìm max của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

 

Đặt $x=a+1; y= b+1; z=c+1$

$\Rightarrow a+b+c=0; a; b; c\epsilon [-1; 1]$

Khi đó $A=a^2+b^2+c^2+3$

Mà $a+b+c=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2= -2(ab+bc+ac)$

Mặt khác $\prod (1-a)(1+b)\geq 0\Rightarrow -(ab+bc+ca)\geq 1$

Vậy $A\geq 2.1+3=5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 27-05-2015 - 21:17

It is the quality of one's convictions that determines successnot the number of followers


#4
Hoangtheson2611

Hoangtheson2611

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 1 : 

$(2-x)(2-y)(2-z)\geqslant 0 =>8-4(x+y+z)+2xy+2yz+2xz-xyz\geqslant 0 => 2xy +2yz+2xz \geqslant 4+xyz \geqslant 4$

A=$(x+y+z)^{2}-2xy-2yz-2xz \leqslant 5$

Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = ( 0;1;2 ) và các hoán vị



#5
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

 

2,Cho $a+b+c=1$

Tìm min của $P=(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}+(c+\frac{1}{c})^{2}$

Ta có:$\left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} & & & \\ \sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(abc)^2}} & & & \\ 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc\leq \frac{1}{27} & & & \\ \sum \frac{1}{a^2}\geq 27 & & & \\ a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3} & & & \end{matrix}\right.$

Lại có:$P=\sum a^2+\sum \frac{1}{a^2}+6\geq \frac{1}{3}+27+6=\frac{100}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 25-05-2015 - 21:48


#6
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Đặt $a=x+1; b= y+1; c=z+1$

$\Rightarrow x+y+z=0; x; y; z\epsilon [-1; 1]$

Khi đó $A=x^2+y^2+z^2+3$

Mà $x+y+z=0\Rightarrow x^2+y^2+z^2= -2(xy+yz+xz)$

Mặt khác $\prod (1-x)(1+x)\geq 0\Rightarrow -(xy+yz+xz)\geq 1$

Vậy $A\geq 2.1+3=5$

Hình như anh đặt nhầm rồi đấy 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh