Chủ đề này có 7 trả lời

[huykinhcan99]

Chứng minh rằng $$\sum^{995}_{k=0} \dfrac{(-1)^k\dbinom{1991-k}{k}}{1991-k}=\dfrac{1}{1991}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 27-05-2015 - 12:33

[khanghaxuan]

Áp dụng : $nC_{n-1}^{k-1}=kC_{n}^{k}$

[huykinhcan99]

Áp dụng : $nC_{n-1}^{k-1}=kC_{n}^{k}$

Bạn có thể chỉ rõ hơn được không? Mình vẫn chưa xử lý được

[hxthanh]

Bài toán này quả thực không đơn giản! Kết quả ở dạng tổng quát:

$\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k{2n+1-k\choose k}}{2n+1-k}=\dfrac{-2\cos\left(\frac{2(n-1)\pi}{3}\right)}{2n+1}$

[hxthanh]

Bài toán này quả thực không đơn giản! Kết quả ở dạng tổng quát:

$\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k{2n+1-k\choose k}}{2n+1-k}=\dfrac{-2\cos\left(\frac{2(n-1)\pi}{3}\right)}{2n+1}$

Với gợi ý tổng quát như thế này mà không thấy ai comment, quả thực tôi thấy hơi tiếc cho một bài toán đẹp!

Gặp phải đề toán cho số cụ thể, tốt hơn hết ta cho nó bằng một số tự nhiên bất kỳ cho dễ tính toán $(n=995)$

Các bạn tiếp cận một bài toán tính tổng bắt đầu từ đâu?

Đối với tôi, đầu tiên xem hàm số cần lấy tổng có "quen thuộc" hay không? Có thể chỉ dùng kỹ thuật biến đổi với tổng là đưa tổng cần tính về dạng đơn giản hơn được không?

Sau khi nhìn thấy tổng có dạng "là lạ" thì ưu tiên hàng đầu là tìm cách tách sai phân $(a_{k+1}-a_k)$.

Không tìm được sai phân toàn phần thì tôi thử tìm "Sai Phân Từng Phần". Nếu thất bại hoàn toàn với sai phân thì ưu tiên tiếp theo của tôi là lập hệ thức truy hồi.

Lập hệ thức truy hồi mà vẫn chưa ra được thì tôi mới trở lại phương pháp chuỗi đa thức (Hàm sinh, tìm hàm số khai triển được thành (hoặc gần giống) với tổng cần tính) kết hợp thêm Đạo Hàm, Tính Phân, Tìm hệ số, v.v...

Tất cả những phương án trên mà không được nữa thì đưa lên VMF hỏi Karl Heinrich Marx !

 

Trở lại với tổng:

$\sum_{k=0}^n  \dfrac{(-1)^k{2n+1-k\choose k}}{2n+1-k}=\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^{n+k}{n+k+1\choose n-k}}{n+k+1}\quad$ (Đơn giản chỉ là đảo thứ tự lấy tổng (reverse index))

$\qquad = \sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^{n+k}(n+k)!}{(2k+1)!(n-k)!}=\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^{n+k}(n+k)!\left[(n+k+1)+(n-k)\right]}{(2k+1)!(n-k)!}$

$\qquad =\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^n \left[(-1)^{n+k}{n+1+k\choose 2k+1}-(-1)^{n-1+k}{n-1+1+k\choose 2k+1}\right]$

$\qquad =\dfrac{1}{2n+1}\left(S_n-S_{n-1}\right)$

 

Với: $S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n+k}{n+1+k\choose 2k+1}$

 

Vậy là ta tách sai phân không ra nhưng đổi lại ta có được hệ thức truy hồi

 

$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n+k}{n+1+k\choose 2k+1}=\sum_{k=0}^n (-1)^{k}{2n+1-k\choose k}$

$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{k}{2n+1-k\choose k}=\sum_{k=0}^n (-1)^{k}{2n-k\choose k}+\sum_{k=0}^n(-1)^k{2n-k\choose k-1}$

$S_n=\underbrace{\sum_{k=0}^n (-1)^k {2n-k\choose k}}_{P_n}-\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k{2n-1-k\choose k}}_{\text{Lùi chỉ số}}$

 

$S_n=P_n-S_{n-1}\quad (1)$

Tương tự

$P_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k {2n+2-k\choose k}=\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{k}{2n+1-k\choose k}+\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k {2n+1-k\choose k-1}$

$P_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{2n+1-k\choose k}-\sum_{k=0}^{n}(-1)^k {2n-k\choose k}$

$P_{n+1}=S_n-P_n\quad (2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ Suy ra $\quad S_{n+1}+S_{n}+S_{n-1}=0$

Với $S_0=1, S_1=-1\quad $ (Dễ dàng tính được)

Suy ra công thức tổng quát của $S_n$

$S_n=\sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}{ 2n + 1 - k \choose k}=\frac{2\sqrt 3 }{3}\sin\left(\frac{(2n + 2)\pi}{3}\right)$

 

Cuối cùng, ta có:

$\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k{2n+1-k\choose k}}{2n+1-k}=\dfrac{1}{2n+1}\left(S_n-S_{n-1}\right)=\dfrac{-2\cos\left(\frac{2(n-1)\pi}{3}\right)}{2n+1}$

[Karl Heinrich Marx]

 

 

Trở lại với tổng:

$\sum_{k=0}^n  \dfrac{(-1)^k{2n+1-k\choose k}}{2n+1-k}=\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^{n+k}{n+k+1\choose n-k}}{n+k+1}\quad$ (Đơn giản chỉ là đảo thứ tự lấy tổng (reverse index))

$\qquad = \sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^{n+k}(n+k)!}{(2k+1)!(n-k)!}=\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^{n+k}(n+k)!\left[(n+k+1)+(n-k)\right]}{(2k+1)!(n-k)!}$

$\qquad =\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^n \left[(-1)^{n+k}{n+1+k\choose 2k+1}-(-1)^{n-1+k}{n-1+1+k\choose 2k+1}\right]$

$\qquad =\dfrac{1}{2n+1}\left(S_n-S_{n-1}\right)$

 

Với: $S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n+k}{n+1+k\choose 2k+1}$

 

 

Haha toán học trong em giờ như là một cái gì mờ ảo, thoi thóp rồi thầy ơi

Nói một chút về lời giải của thầy Thanh thì thật sự mình thấy ấn tượng với ý tưởng tính theo các dãy $S_n,P_n$, có lẽ vì thầy đã làm việc nhiều với những bài toán thế này nên có thể đưa ra những biến đổi như vậy. Dòng mình bôi đỏ ở trên là một phép biến đổi rất khéo để loại bỏ mẫu số trong sigma. Xin phép dùng ý tưởng này của thầy để tiếp cận một hướng khác. (Như thường lệ lời giải về kiểu này của em vẫn là tính hệ số tự do trong đa thức )

Về phương pháp này thì với một sigma chạy từ 0 đến một $n$ (hoặc một hằng số nào đó theo $n$) thì nó vô cùng hiệu quả khi chuyển qua đa thức ta sẽ biến đổi linh hoạt hơn.

Mình xin tiếp tục ở đoạn này:

$$\sum_{k=0}^n  \dfrac{(-1)^k{2n+1-k\choose k}}{2n+1-k}=\qquad =\dfrac{1}{2n+1}\sum_{k=0}^n \left[(-1)^{n+k}{n+1+k\choose 2k+1}-(-1)^{n-1+k}{n-1+1+k\choose 2k+1}\right]$$

Ta sẽ tính riêng rẽ 2 biểu thức này, phần đầu sẽ là hệ số tự do trong biểu thức:

$$ \dfrac{(-1)^n}{2n+1}\sum_{k=0}^n (-1)^k.\frac{(1+x)^{2k+1}}{x^{n+1+k}}=\dfrac{(-1)^n(x+1)}{(2n+1)x^{n+1}}\sum_{k=0}^n (-1)^k.\frac{(1+x)^{2k}}{x^{k}}=\dfrac{(-1)^n(x+1)}{(2n+1)x^{n+1}}\left(1-\frac{(1+x)^2}{x})^n\right)$$

$$=\dfrac{(-1)^n(x+1)(-x^2-x-1)^n}{(2n+1)x^{2n+1}}$$

Rõ ràng hệ số tự do ở đây chính là hệ số của $x^{2n+1}$ trên tử chia cho $2n+1$ và bằng $\frac{1}{2n+1}$.

Tương tự thì biểu thức vế phải là hệ số tự do trong biểu thức:

$$ \dfrac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\sum_{k=0}^n (-1)^k.\frac{(1+x)^{2k+1}}{x^{n+k}}= \dfrac{(-1)^n(x+1)}{(2n+1)x^{n}}\sum_{k=0}^n (-1)^k.\frac{(1+x)^{2k}}{x^{k}}=\dfrac{(-1)^{n-1}(x+1)(-x^2-x-1)^n}{(2n+1)x^{2n}}$$

Hệ số tự do trong biểu thức này ta phải tính hệ số của $x^{2k}$ trong biểu thức tử, cái này mình nghĩ tính được. Nhưng ngại tính quá

[hxthanh]

...

$=\dfrac{(-1)^n(x+1)(-x^2-x-1)^n}{(2n+1)x^{2n+1}}$ $=\dfrac{(x+1)(x^2+x+1)^n}{(2n+1)x^{2n+1}}$

Rõ ràng hệ số tự do ở đây chính là hệ số của $x^{2n+1}$ trên tử chia cho $2n+1$ và bằng $\frac{1}{2n+1}$.

Tương tự thì biểu thức vế phải là hệ số tự do trong biểu thức:

$$ \dfrac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\sum_{k=0}^n (-1)^k.\frac{(1+x)^{2k+1}}{x^{n+k}}= \dfrac{(-1)^n(x+1)}{(2n+1)x^{n}}\sum_{k=0}^n (-1)^k.\frac{(1+x)^{2k}}{x^{k}}=\dfrac{(-1)^{n-1}(x+1)(-x^2-x-1)^n}{(2n+1)x^{2n}}$$

$$=\dfrac{-(x+1)(x^2+x+1)^n}{(2n+1)x^{2n}}$$

Hệ số tự do trong biểu thức này ta phải tính hệ số của $x^{2n}$ trong biểu thức tử, cái này mình nghĩ tính được. Nhưng ngại tính quá

Ở đây ta thấy rằng: $[x^{2n}]\;(x^2+x+1)^n=1$ và $[x^{2n-1}]\;(x^2+x+1)^n=n$

Như vậy hệ số tự do phải tìm ở TH này là $\frac{-1-n}{2n+1}$

Kết quả cuối cùng lại trở thành:

$\frac{1}{2n+1}-\frac{-1-n}{2n+1}=\frac{2+n}{2n+1}$

 

Vì sao lại thế? Karl Heinrich Marx? Có phải em quên mất trong sigma thiếu cái tổ hợp $ n\choose k$?

[Karl Heinrich Marx]

Ở đây ta thấy rằng: $[x^{2n}]\;(x^2+x+1)^n=1$ và $[x^{2n-1}]\;(x^2+x+1)^n=n$

Như vậy hệ số tự do phải tìm ở TH này là $\frac{-1-n}{2n+1}$

Kết quả cuối cùng lại trở thành:

$\frac{1}{2n+1}-\frac{-1-n}{2n+1}=\frac{2+n}{2n+1}$

 

Vì sao lại thế? Karl Heinrich Marx? Có phải em quên mất trong sigma thiếu cái tổ hợp $ n\choose k$?

Hehe đúng là thiếu cái đấy đấy thầy, lạm dụng quá đúng là chả hay ho gì. Nhưng giật mình là em viết sai cũng chỉ có thầy kiểm chứng và chỉ có em vs thầy trao đổi, dù không hứng thú với cái này đi nữa nhưng chẳng có ai bỏ một chút cố gắng cùng thảo luận với mọi người :|