Cho $a, b, c>0$. Chứng minh:
$ \dfrac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\dfrac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\dfrac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2} \leq 1$
Cho $a, b, c>0$. Chứng minh:
$ \dfrac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\dfrac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\dfrac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2} \leq 1$
Cho $a, b, c>0$. Chứng minh:
$ \dfrac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\dfrac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\dfrac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2} \leq 1$
Bài này dùng chuẩn hóa và PP tiếp tuyến nhé :v
Bài này dùng tiếp tuyến chắc phải D.A.C, mà D.A.C nãy giờ chưa ra nên khá vô vọng về tiếp tuyến.
Đặt $x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c$ thì bất đẳng thức trở thành: $\sum \dfrac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geqslant 1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^4+y^4+z^4)+2\sum y^2z^2+2xyz(x+y+z)}$
Mà $2xyz(x+y+z)\leqslant 2\sum y^2z^2$ nên $2(x^4+y^4+z^4)+2\sum y^2z^2+2xyz(x+y+z)\leqslant 2(x^2+y^2+z^2)^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 27-05-2015 - 19:22
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Chuẩn hóa $a+b+c=3$, giả sử $(b-1)(c-1)\geqslant 0$ thì $b^2+c^2\leqslant 1+(b+c-1)^2$
Khi đó bất đẳng thức trở thành: $\sum \dfrac{(3-2a)^2}{6a^2-12a+9}\geqslant 1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$VT\geqslant \dfrac{(3-2a)^2}{6a^2-12a+9}+\dfrac{4a^2}{6\left[1+(2-a)^2\right]-12(3-a)+18}\\=1+\dfrac{2a^2(a-1)^2}{3(a^2-2a+2)(2a^2-4a+3)}\geqslant 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=0, b=c$ và các hoán vị. Đỏ làm khó cho tiếp tuyến.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 27-05-2015 - 19:13
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Bài này dùng tiếp tuyến chắc phải D.A.C, mà D.A.C nãy giờ chưa ra nên khá vô vọng về tiếp tuyến.
Đặt $x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c$ thì bất đẳng thức trở thành: $\sum \dfrac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geqslant 1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^4+y^4+z^4)+2\sum y^2z^2+2xyz(x+y+z)}$
Mà $2xyz(x+y+z)\leqslant 2\sum y^2z^2$ nên $2(x^4+y^4+z^4)+2\sum y^2z^2+2xyz(x+y+z)\leqslant 2(x^2+y^2+z^2)^2$
Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh
$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh
$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$
Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không
MAX ngu bđt
Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh
$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$
Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không
MAX ngu bđt
Chỗ đó chỉ là BĐT thường dùng thôi em!
$(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không
MAX ngu bđt
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c-a \right )^{2}}\leq 2\Leftrightarrow \sum \left ( 1-\frac{2a^{2}}{2a^{2}-\left ( b+c-a \right )^{2}} \right )\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c-a \right )^{2}}\geq 1$
Ý của e là từ bất đẳng thức đã cho mà ra bđt màu đỏ ấy a
Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không
MAX ngu bđt
Với cách đặt như trên thì $c=\frac{x+y}{2};b=\frac{x+z}{2};a=\frac{y+z}{2}$
Thay vào thì BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{(y+z)^2}{(y+z)^2+2x^2}\leq 2$
Để ý rằng $1-\frac{(y+z)^2}{(y+z)^2+2x^2}=\frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}$
Và ta có thể chuyển BĐT cần C/m về dạng $\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq 1$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh