Đến nội dung

Hình ảnh

$ \dfrac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\dfrac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\dfrac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2} \leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Nguyen Hai Bang

Nguyen Hai Bang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh:

 

$ \dfrac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\dfrac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\dfrac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2} \leq 1$



#2
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh:

 

$ \dfrac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\dfrac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\dfrac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2} \leq 1$

Bài này dùng chuẩn hóa và PP tiếp tuyến nhé :v


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài này dùng tiếp tuyến chắc phải D.A.C, mà D.A.C nãy giờ chưa ra nên khá vô vọng về tiếp tuyến.

Đặt $x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c$ thì bất đẳng thức trở thành: $\sum \dfrac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geqslant 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^4+y^4+z^4)+2\sum y^2z^2+2xyz(x+y+z)}$

Mà $2xyz(x+y+z)\leqslant 2\sum y^2z^2$ nên $2(x^4+y^4+z^4)+2\sum y^2z^2+2xyz(x+y+z)\leqslant 2(x^2+y^2+z^2)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 27-05-2015 - 19:22

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Chuẩn hóa $a+b+c=3$, giả sử $(b-1)(c-1)\geqslant 0$ thì $b^2+c^2\leqslant 1+(b+c-1)^2$

Khi đó bất đẳng thức trở thành: $\sum \dfrac{(3-2a)^2}{6a^2-12a+9}\geqslant 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$VT\geqslant \dfrac{(3-2a)^2}{6a^2-12a+9}+\dfrac{4a^2}{6\left[1+(2-a)^2\right]-12(3-a)+18}\\=1+\dfrac{2a^2(a-1)^2}{3(a^2-2a+2)(2a^2-4a+3)}\geqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=0, b=c$ và các hoán vị. Đỏ làm khó cho tiếp tuyến.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 27-05-2015 - 19:13

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Bài này dùng tiếp tuyến chắc phải D.A.C, mà D.A.C nãy giờ chưa ra nên khá vô vọng về tiếp tuyến.

Đặt $x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c$ thì bất đẳng thức trở thành: $\sum \dfrac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geqslant 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^4+y^4+z^4)+2\sum y^2z^2+2xyz(x+y+z)}$

Mà $2xyz(x+y+z)\leqslant 2\sum y^2z^2$ nên $2(x^4+y^4+z^4)+2\sum y^2z^2+2xyz(x+y+z)\leqslant 2(x^2+y^2+z^2)^2$

Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh

$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#6
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh
$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không

MAX ngu bđt  :(



#7
hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết

Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh

$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

 

Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không

MAX ngu bđt   :(

Chỗ đó chỉ là BĐT thường dùng thôi em!

$(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#8
tonarinototoro

tonarinototoro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không

MAX ngu bđt   :(

BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c-a \right )^{2}}\leq 2\Leftrightarrow \sum \left ( 1-\frac{2a^{2}}{2a^{2}-\left ( b+c-a \right )^{2}} \right )\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c-a \right )^{2}}\geq 1$



#9
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Ý của e là từ bất đẳng thức đã cho mà ra bđt màu đỏ ấy a 



#10
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không

MAX ngu bđt   :(

Với cách đặt như trên thì $c=\frac{x+y}{2};b=\frac{x+z}{2};a=\frac{y+z}{2}$

Thay vào thì BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{(y+z)^2}{(y+z)^2+2x^2}\leq 2$

Để ý rằng $1-\frac{(y+z)^2}{(y+z)^2+2x^2}=\frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}$

Và ta có thể chuyển BĐT cần C/m về dạng $\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq 1$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh