Chủ đề này có 4 trả lời

[Taj Staravarta]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ chứng minh $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a^2+b^2+c^2$

[nguyenhongsonk612]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ chứng minh $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a^2+b^2+c^2$

Với những bài toán có điều kiện như này thì phép đặt ẩn phụ sau rất hiệu quả

Đặt $a=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}...$

BĐT $\Leftrightarrow x^2y^2(y-z)(x-z)+y^2z^2(x-y)(x-z)+z^2x^2(x-y)(y-z)\geq 0$

Điều này luôn đúng khi ta giả sử $x\geq y\geq z$

Vậy BĐT được C/m

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[khanghaxuan]

Hoặc đặt : $a=2cosA......$

[dogsteven]

Đặt $x=\dfrac{bc}{a}, y=\dfrac{ca}{b}, z=\dfrac{ab}{c}$ thì $xy+yz+zx+xyz=4$ và ta cần chứng minh $x+y+z\geqslant xy+yz+zx$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sum x(x+2)=\sum x(x+2).\sum \dfrac{x}{x+2}\geqslant (x+y+z)^2\Leftrightarrow x+y+z\geqslant xy+yz+zx$

[Hoang Nhat Tuan]

Đặt: $x=\frac{bc}{a};y=\frac{ca}{b};z=\frac{ab}{c}$ thì giả thiết trở thành $xy+yz+xz+xyz=4$

Cần chứng minh $x+y+z\geq xy+yz+xz$

Theo nguyên lý Dirichlet ta có thể giả sử $(x-1)(y-1)\geq 0$

Từ giả thiết có: $z=\frac{4-xy}{x+y+xy}$

Cần chứng minh: $x+y-xy\geq \frac{4-xy}{x+y+xy}(x+y-1)$

<=> $(x+y-2)^2\geq xy(x-1)(y-1)$

Theo giả thiết thì $xy\leq 4$

Lại có: $(x+y-2)^2\geq 4(x-1)(y-1)$

Từ đó => ĐPCM