cho a=1/căn1+1/căn2+1/căn3+...+1/căn100 chứng minh a không phải số tự nhiên
cho a=1/căn1+1/căn2+1/căn3+...+1/căn100 chứng minh a không phải số tự nhiên
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi nguyen the vinh, 28-05-2015 - 10:56
#2
Đã gửi 28-05-2015 - 11:56
LeHKhai
-
- Thành viên
-
- 124 Bài viết
Trung sĩ
cho a=1/căn1+1/căn2+1/căn3+...+1/căn100 chứng minh a không phải số tự nhiên
trước hết ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát : với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì :
$2\sqrt{n}-2<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-1$ $(*)$
xét số hạng thứ $k$ trong dãy $(2\leq k\leq n)$ ta có : $\frac{1}{\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$ và $\frac{1}{\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$
do đó $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2(\sqrt{n+1}-1)>2\sqrt{n}-2$
và $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} < 1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=1+2(\sqrt{n}-1)=2\sqrt{n}-1$
đến đây áp dụng $(*)$ với $n=100$ thì $19 < a < 20$ nên a không phải là số tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeHKhai: 28-05-2015 - 11:58
- nloan2k1, nguyen the vinh, JenTrinh và 2 người khác yêu thích
"How often have I said to you that when you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth?"
– Sherlock Holmes –
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
