Chủ đề này có 4 trả lời

[yeutoanmaimai1]

1,Cho 3 số thực $x,y,z$ khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^{3}=3x-1 & & \\ y^{3}=3y-1 & & \\ z^{3}=3z-1 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$

2,Cho $(4a^{2}+3ab-11b^{2})\vdots 5$

Chứng minh $(a^{4}-b^{4})\vdots 5$

[Dinh Xuan Hung]

1,Cho 3 số thực $x,y,z$ khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^{3}=3x-1 & & \\ y^{3}=3y-1 & & \\ z^{3}=3z-1 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$

 

Lấy trên từ dưới ta thu đc

 

$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-3)=0 & \\ (y-z)(y^2+yz+z^2-3)=0& \end{matrix}\right.$

 

Mà $x,y,z$ đôi một phân biẹt nên

 

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-3=0 & \\ y^2+yz+z^2-3=0& \end{matrix}\right.$

 

Từ theo từng vế kết hợp $x,y,z$ khác nhau thì có $x+y+z=0$

 

Cộng tất 3 phương trình đầu và $x+y+z=0$

 

$(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)=3(x+y+z)-3\Leftrightarrow xyz=-1$

 

Nhân 3 phương trình đầu

 

$(xyz)^3=(3x-1)(3y-1)(3z-1)\Leftrightarrow -1=27xyz-9(xy+yz+xz)+3(x+y+z)-1$

 

$\Rightarrow 9(xy+yz+xz)=-27\Rightarrow xy+yz+xz=-3$

 

Ta có $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=0+6=6$

2)$LHS=(4a-b)(a+b)\vdots 5;4a-b+a+b=5a\vdots 5\rightarrow QED$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-05-2015 - 18:19

[hoctrocuaHolmes]

2,Cho $(4a^{2}+3ab-11b^{2})\vdots 5$

Chứng minh $(a^{4}-b^{4})\vdots 5$

Ta có $4a^{2}+3ab-11b^{2}=(4a-11b)(a+b)+10ab$

Vì $4a^{2}+3ab-11b^{2}$ chia hết cho $5$ nên $4a^{2}+3ab-11b^{2}=(4a-11b)(a+b)+10ab \vdots 5$ 

$\Leftrightarrow (4a-11b)(a+b)\vdots 5\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 4a-11\vdots 5 & \\ a+b\vdots 5 & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 5a-10b-a-b=5a-10b-(a+b)\vdots 5 & \\ a+b\vdots 5& \end{bmatrix}$

Do đó $a+b \vdots 5$ $\rightarrow a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2})(a-b)(a+b)\vdots 5(đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 28-05-2015 - 18:22

[chungtoiladantoan99]

ta có: $4a^2+3ab-11b^2=5(a^2-2b^2)+5ab-(a+b)^2\vdots 5\Rightarrow (a+b)^2\vdots 5\Rightarrow (a+b)\vdots 5\Rightarrow (a^4-b^4)\vdots (a-b)\vdots 5$

suy ra đpcm

[hoanglong2k]

Câu 1: Từ đầu bài suy ra $x,y,z$ là 3 nghiệm của phương trình $t^3-3t+1=0$

 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0\\ xy+yz+zx=-3 \end{matrix}\right.\Rightarrow  x^2+y^2+z^2=6$

 Chứng minh bằng cách khai triển $(t-x)(t-y)(t-z)=0\Rightarrow t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0$ và sử dụng hệ số bất định