Chủ đề này có 38 trả lời

[namdang248]

Bài 4: b) Giả sử tháng 3 bạn Lan không nghỉ ngày nào vậy số bài bạn An còn lại sau khi khỏi ốm một tuần là : 183-93-16=74 bài

mà số bài còn lại a phải chia hết cho 4 vì mội ngày bạn An giải một bài. Nên giả thiết . vậy trong tháng 3 bạn An có nghỉ và số ngày nghỉ là số chẵn để số bài còn lại a chẵn và gần số 74 nhất và chia hết cho 4. Nên số bài còn lại a là 80.vậy trong tháng 3 bạn An làm được 183-80-16=87 bài.Bạn An làm hết bài thứ 87 vào ngày 87:3=29. Vậy bạn An bị bệnh từ ngày 30. Số ngày bạn An giải số bài còn lại a là 80:4=20 ngày. số ngày bạn An không giả toán trong tháng 4 là 30-20-7=3 ngày. Vậy Bạn An nghỉ từ ngày 30 tháng 3 và 3 ngày đầu tháng 4. vậy bạn An nghỉ 5 ngày

[Congnghiaky298]

Nguồn E.T.C THCS

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Congnghiaky298: 01-06-2015 - 12:05

[hoctrocuaZel]

$(1)$

$LHS\leqslant \sqrt{2(2x-1+1-2x^2)}=RHS\Rightarrow 2x-1=1-2x^2$

$(b)$

$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{b}<0;RHS\geqslant -1\Leftrightarrow (\sqrt[3]{b}-\frac{1}{2})^2\geqslant 0$

$(2.a)$

$\sum a^2=-2\sum ab=6=1+1+4$

$(3)$

$x_1+x_2=-a\in Z;Equa\Leftrightarrow b=(2x^2+2ax+1)\Rightarrow LHS=a^2-(2x^2+2ax+1)^2+1$

Để í rằng $a^2+1$ kg chia hết $3$ nữa là xong :v

[Bui Ba Anh]

Bài 5:

Biểu thị các học sinh là 1 điểm trên mặt phẳng sao cho không có $3$ điểm nào thẳng hàng

Cứ $2$ học sinh được trao giải trong cùng $1$ đợt thi được nối với nhau bởi một đoạn thẳng xác định bởi một màu

Do điều kiện của bài toán, cứ $3$ học sinh được trao giải cho một đợt thi sẽ tạo thành một tam giác $3$ cạnh cùng màu

Do giữa hai đợt thi luôn có một học sinh được trao giải nên giữa hai tam giác bất kì luôn có đỉnh chung

Như vậy thì không tồn tại một tứ giác có $2$ loại màu, vì ngược lại thì giữa hai môn bất kì có $2$ học sinh đạt điểm tối ưu(vô lí)

Bổ đề: Nếu $4$ tam giác( mỗi tam giác một màu) đều có chung $1$ đỉnh thì tất cả các tam giác khác sẽ có chung đỉnh đó:

Thật vậy: Xét bốn tam giác đã có chung một đỉnh, và xét thêm tam giác thứ $5$. Do giữa hai tam giác bất kì luôn có một đỉnh chung, nên tam giác thứ $5$ này luôn có duy nhất một đỉnh chung với $4$ tam giác kia. Mà một tam giác chỉ có $3$ đỉnh nên theo $Dirichle$, có $2$ tam giác trong $4$ tam giác có đỉnh chung với $1$ đỉnh của tam giác thứ năm. Suy ra $2$ tam giác trong $4$ tam giác này có thêm đỉnh chung nữa (vô lí).

Bổ đề được chứng minh

Trở lại bài toán:

a) Xét một tam giác bất kì, tất nhiên tam giác này có $3$ đỉnh. Mà mỗi một trong $7$ tam giác kia luôn có duy nhất một đỉnh chung với tam giác đang xét. Theo $dirichle$ có $3$ tam giác trong $7$ tam giác này kề chung $1$ đỉnh nào đó của tam giác đang xét. Cộng thêm tam giác đang xét là $4$ tam giác chung đỉnh. Phiên dịch $graph$ này ra ta được có một học sinh được trao giải ở $4$ đợt thi

b) Áp dụng bổ đề trên, ta có ngay điều phải chứng minh

 

p/s:Bài này có thể có tính phân loại cao, nhưng đòi hỏi các bạn phải có kiến thức về $graph$ (đúng chất PTNK)

Mở rộng bài toán này:

$1$. Số $8$ là số nhỏ nhất thỏa mãn tất cả các đợt đều trao về $1$ bạn

$2$. Đề thi TST Hong Kong năm nào đó có một bài tương tự, nội dung đại khái là:

Các học sinh được phát bài kiểm tra, với mỗi môn có $3$ học sinh đạt điểm tối ưu, và giữa $2$ môn bất kì luôn có một học sinh đạt điểm tối ưu chung. Tìm số môn nhỏ nhất sao cho với các điều kiện trên có $1$ bạn đạt điểm tối ưu cho tất cả các môn

[hoctrocuaHolmes]

Nguồn E.T.C THCS

1.a)ĐKXD:$\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-1}=a & \\ \sqrt{1-2x^{2}}=b & \end{matrix}\right.$ thay vào $PT$ đã cho ta có

$a+b=\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

Nhận thấy $a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\Leftrightarrow (a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu''='' xảy ra 

$\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2x^{2}}\Leftrightarrow 2x-1=1-2x^{2}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} (TM) & \\ x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} (KTMDKXD) & \end{bmatrix}$

Vậy tập nghiệm của $PT$ là........

2.Ta có $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2.(-3)=0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=6$

Vì $a,b,c$ là các số nguyên nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1+1+4\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\pm 1 & & \\ b=\pm 1 & & \\ c=\pm 2 & & \end{matrix}\right.$

Để thoả mãn đẳng thức $a+b+c=0$ thì giá trị $a,b,c$ thoả mãn là $(-1;-1;2);(1;1;-2)$ và hoán vị

[Lee LOng]

$(2.b).$ Vì $a+b+c=0$ nên xảy ra 2 trường hợp:

$TH1:$ $a,b,c $ chẵn 

$a'=\frac{a}{2};b'=\frac{b}{2};c'=\frac{c}{2}$ (Thỏa mãn) 

$TH2$: Hai số lẻ , Một số chẵn .Giả sử a chẵn, b,c lẻ.Lại có: $ab+bc+ac-4m=0$ nên $bc$ chẵn (Vô lý)

$(2.c)$Ta có:$a+b+c=0$ nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ac)=2^{k+1}$ Ta chứng minh được $a,b,c$ chẵn.Đặt  $a=2a_{1},b=2b_{1}, c=2c_{1}$ $(a_{i},b_{i},c_{i}>0)$

Ta có:$a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}=2^{k-1}$

Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi $a_{t}^{2}+b_{t}^{2}+c_{t}^{2}=1$ (loại) Hoặc $a_{t}^{2}+b_{t}^{2}+c_{t}^{2}=2$ (loại)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 01-06-2015 - 17:12

[Bui Ba Anh]

Bài 4:

a) Xét hai tam giác cân $BEF$ và $OBE$ có hai góc ở đáy chung là $OEB$ nên chúng đồng dạng, từ đây suy ra $EB^2=EF.EO$

b)Do tam giác $BDE$ đồng dạng tam giác $ABE$ nên từ câu a) suy ra

$EB^2=ED.EA=EF.EO$, ta có đpcm

c) Do $EB^2=EP^2=EF.EO$ nên tam giác $EFP$ đồng dạng tam giác $EPO$, suy ra góc $EPO$ bằng góc $EFP$ (1)

Gọi $K$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $P$ với $OE$, suy ra tam giác $KFP$ đồng dạng tam giác $KPO$ nên góc $KPO$ bằng góc $EFP$ (2)

Từ (1) và (2),chú ý $PK,PE$ cùng phía bờ $PO$, từ đây suy ra chúng trùng nhau, dẫn đến $K=E$ và điểm cố định là $E$

[dogsteven]

Bài 2 (c)

Xét $k=1$ và $k=2$ ra vô nghiệm nguyên khác $0$

Xét $k>3$ thì $a,b,c$ cùng chẵn nên đặt $a=2a_1, b=2b_1, c=2c_1$

Lặp lại quá trình này cũng đến khi $k=1$ hay $k=2$

[devilloveangel]

    Đại Học Quốc Gia TP.HCM                                                                                                ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

Trường Phổ Thông Năng Khiếu                                                                                                NĂM HỌC : 2015 - 2016 

        Hội Đồng Tuyển Sinh                                                                                                       MÔN THI : TOÁN CHUYÊN 

Thời gian làm bài 150 phút , không kể thời gian phát đề

 

Bài 1 ( 2.0đ ) : 

a) Giải phương trình : $\sqrt{2x-1} + \sqrt{1-2x^2} = 2\sqrt{x-x^2}$

b) Cho các số a và b thỏa mãn điều kiện $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}$ , chứng minh rằng $-1 \leqslant a < 0$ . 

 

Bài 2 ( 2.0đ ) : 

a) Tìm các số nguyên a,b,c sao cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca + 3 = 0 

b) Cho m là số nguyên , CMR nếu tồn tại các số nguyên a,b,c khác 0 sao cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca + 4m = 0 thì cũng tồn tại các số nguyên a' , b' , c' khác 0 sao cho a' + b' + c' = 0 và a'b' + b'c' + c'a' + m = 0 .

c) Với k là số nguyên dương , CMR không tồn tại các số nguyên a,b,c khác 0 sao cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca + $2^{k}$ = 0 .

 

Bài 3 ( 1.0đ ) :

Giả sử phương trình 2x² + 2ax + 1 - b = 0 có 2 nghiệm nguyên ( với a,b là tham số ) . CMR a² - b² +2 là số nguyên và không chia hết cho 3 . 

 

Bài 4 ( 3.0đ ) : 

Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có các góc nhọn , nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC , F là điểm đối xứng của E qua M . 

a) CMR : EB² = EF.EO 

b) Gọi D là giao điểm của AE và BC , CMR các điểm A,D,O,F cùng thuộc một đường tròn 

c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P,O,F không thẳng hàng . CMR tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua 1 điểm cố định . 

 

Bài 5 ( 2.0đ ) : 

Để khuyến khích phong trào học tập , một trường THCS đã tổ chức 8 đợt thi cho các học sinh , Ở mỗi đợt thi , có đúng 3 học sinh được chọn để trao giải . Sau khi tổ chức xong 8 đợt thi , người ta nhận thấy rằng với 2 đợt thi bất kỳ luôn có đúng 1 học sinh được trao giải ở cả 2 đợt thi đó . CMR : 

a) Có ít nhất 1 học sinh được trao giải ít nhất 4 lần .

b) Có đúng một học sinh được trao giải ở tất cả 8 đợt thi . 

 

___ Hết ___

Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm . 

Họ và tên thí sinh : ..............................................................................................: Số báo danh : .............................................................

[Mary Huynh]

1) a ) $DKXD  : \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} $

$VT \leq \sqrt { 2(2x-1+1-2x^{2})}=2\sqrt{x-x^{2}}=VP$

Dấu $'='$  xảy ra khi $ 2x-1=1-2x^{2}$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}(tm) \\x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}(ktm) \end{bmatrix}$

.............

[marcoreus101]

Câu 5 theo cách làm của thầy Nam Dũng 

Spoiler

Anh Khoa liệu được mấy điểm anh  

[namdang248]

Cho em hỏi bài cuối áp dụng biểu đồ Venn được không ạ???

[Bui Ba Anh]

Không dùng biểu đồ ven đc vì như v xét nhiều TH lắm e

[quanghung86]

Bài hình nếu phát biểu che đi được điểm cố định $E$ thì sẽ có ý nghĩa hơn, bài toán sau là một khai thác ý a),b) và sử dụng ý c)

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn qua $O,I$ tiếp xúc $IA$ cắt trung trực $BC$ tại $F$ khác $O$. $P$ là một điểm di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$.

a) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $POF$ luôn đi qua điểm $E$ cố định khi $P$ thay đổi.

 

b) Gọi $K$ đối xứng $I$ qua $BC$. $KE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $OIE$ tại $L$ khác $E$. Chứng minh rằng $L$ nằm trên $(O)$.

 

Giải. a) Gọi $AI$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $A$ thì $E$ là tâm ngoại tiếp tam giác $IBC$. Từ đó $EP^2=EI^2=EO.EF$. Từ đó $EP$ tiếp xúc đường tròn $(POF)$ hay tiếp tuyến tại $P$ của $(POF)$ đi qua $E$ cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 02-06-2015 - 21:29

[congdan9aqxk]

bài 3

theo Viét có :

$x_{1}+x_{2}=-a;x_{1}x_{2}=\frac{1-b}{2}\Rightarrow b=1-2x_{1}x_{2}$

P=$\Rightarrow a^{2}-b^{2}+2=(x_{1}+x_{2})^{2}-(1-2x_{1}x_{2})^{2}+2$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+1-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+6x_{1}x_{2}-3x_{1}^{2}x_{2}^{2}$

nếu $x_{1};x_{2}$ cả 2 số chia hết cho 3 thì P=3k+1

nếu chỉ 1 số chia hết cho 3 thì P=3t+2

nếu không có số nào chia hết cho 3 thì $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+1 \vdots 3$ mà $x_{1}^{2}x_{2}^{2}$ không chia hết cho 3 nên P không chia hết cho 3

[thinhrost1]

$(1)$

$LHS\leqslant \sqrt{2(2x-1+1-2x^2)}=RHS\Rightarrow 2x-1=1-2x^2$

$(b)$

$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{b}<0;RHS\geqslant -1\Leftrightarrow (\sqrt[3]{b}-\frac{1}{2})^2\geqslant 0$

$(2.a)$

$\sum a^2=-2\sum ab=6=1+1+4$

$(3)$

$x_1+x_2=-a\in Z;Equa\Leftrightarrow b=(2x^2+2ax+1)\Rightarrow LHS=a^2-(2x^2+2ax+1)^2+1$

Để í rằng $a^2+1$ kg chia hết $3$ nữa là xong :v

Sao $\sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{b}+1=(\sqrt[3]{b}-\frac{1}{2})^2$ vay ban ?

[quanghung86]

Có thể xem đáp án bài toán trên ở đây http://analgeomatica...ky-thi-vao.html

[Minhnguyenthe333]

           ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM                                                          ĐỀ THI TUYẾN SINH LỚP 10

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU                                                            Năm học: 2015-2016

           HỘI ĐỒNG TUYẾN SINH                                                             Môn thi: Toán (không chuyên)

                                                                                                      Thời   gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

 

Bài 1: (2 điểm)

a) Giải phương trình:$(x^2-9)\sqrt{2-x}=x(x^2-9)$

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x^2+4y^2)^2-4(x^2+4y^2)=5 & \\3x^2+2y^2=5 & \end{matrix}\right.$

Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình $\frac{(x-2m)(x+m-3)}{x-1}=0 (1)$

a) Tìm $m$ đề phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

b) Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2-5x_1x_2=14m^2-30m+4$

Bài 3: (1,5 điểm) a) Rút gọn $Q=(\frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}+\frac{3-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}-\frac{36}{x-9}):\frac{\sqrt{x}-5}{3\sqrt{x}-x} (x>0;x\neq 9;x\neq25)$

                           b) Tim $x$ để $Q<0$

Bài 4: (2 điểm):

a) Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm $3cm$ thì diện tích tăng $33 cm^2$; nếu giảm độ dài một cạnh vuông đi $2cm$ và tăng độ dài cạnh vuông còn lại lên $1cm$ thì diện tích giảm $2cm^2$. Hãy tính độ dài các cạnh góc vuông.

b) Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày $1/3$ đến $30/4$ sẽ giải mỗi ngày $3$ bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch một thời gian, thì đến cuối tháng $3$ ( tháng $3$ có $31$ ngày), thì An bị bệnh phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu tiên An chỉ giải được $16$ bài; sau đó An cố gắng giải $4$ bài một ngày, và đến $30/4$ thì An cũng hoàn thành đúng kế hoạch đã định. Hỏi bạn An đã nghỉ giải toán ít nhất bao nhiêu ngày?

Bài 5: Hình bình hành $ABCD$ có tam giác $ADC$ nhọn, $\widehat{ADC}=60^{\circ}$. Đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp $ADC$ cắt $AB$ tại $E$ ($E \neq A$), $AC$ cắt $DE$ tại $I$.

a) Chứng minh tam giác $BCE$ đều và $IO \perp DC$

b) Gọi $K$ là trung điểm của $BD$, $KO$ cắt $DC$ tại $M$. Chứng minh $A,D,M,I$ thuộc cùng một đường tròn.

c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $\frac{JO}{DE}$

..............................................Hết.................................................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Câu 1:

a.$x={-2;1;-3}$

b.Đặt $t=x^2+4y^2$

$\Rightarrow (x,y)={\pm 1,\pm 1}$

Câu 2:

a.ĐKXĐ:$x\neq 1$

$x=2m\Rightarrow m\neq\frac{1}{2},x=3-m\Rightarrow m\neq2$

b.Theo hệ thức Vi-ét:

$\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^2-7x_{1}x_{2}=(m+3)^2-14m(3-m)=14m^2-30m+4$

$\Rightarrow m={1;5}$

[ledacthuong2210]

$(1)$

$LHS\leqslant \sqrt{2(2x-1+1-2x^2)}=RHS\Rightarrow 2x-1=1-2x^2$

$(b)$

$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{b}<0;RHS\geqslant -1\Leftrightarrow (\sqrt[3]{b}-\frac{1}{2})^2\geqslant 0$

$(2.a)$

$\sum a^2=-2\sum ab=6=1+1+4$

$(3)$

$x_1+x_2=-a\in Z;Equa\Leftrightarrow b=(2x^2+2ax+1)\Rightarrow LHS=a^2-(2x^2+2ax+1)^2+1$

Để í rằng $a^2+1$ kg chia hết $3$ nữa là xong :v

câu 1b sao vvayj a