Chủ đề này có 81 trả lời

[Trang Luong]

Theo đề bài, các số nguyên dương được sắp xếp theo từng hàng chéo của bảng: Hàng chéo thứ nhất có 1 số, hàng chéo thứ hai có 2 số, ...

Giả sử số $x$ nằm ở hàng chéo thứ $k$ thì ta có:

$\dfrac{k(k-1)}{2}< x\le \dfrac{k(k+1)}{2}\Rightarrow \dfrac{-1+\sqrt{1+8x}}{2}\le k<\dfrac{1+\sqrt{1+8x}}{2}\Rightarrow k=\left\lceil\dfrac{-1+\sqrt{1+8x}}{2}\right\rceil$

Áp dụng $x=2015$ ta có $k=\left\lceil\dfrac{-1+\sqrt{1+8.2015}}{2}\right\rceil=63$

Số đầu tiên ở hàng chéo thứ $k=63$ là $\dfrac{k(k-1)}{2}+1=1954$

Như vậy số $2015$ nằm ở vị trí thứ $2015-1954+1=62$ của hàng chéo thứ $63$ (Vị trí áp chót)

Tọa độ của nó là $(2,62)$

 

$\dfrac{k(k-1)}{2}< x\le \dfrac{k(k+1)}{2}\Rightarrow \dfrac{-1+\sqrt{1+8x}}{2}\le k<\dfrac{1+\sqrt{1+8x}}{2}\Rightarrow$

đoạn này chứng minh như thế nào hả thầy. Em chưa hiểu rõ đoạn này

[Trang Luong]

Chưa đến vòng 2 mà bài bất đẳng thức đã phức tạp thế này rồi   
Bài cuối biết là dùng Schur nhưng không biến đổi được vì chưa quen   
Bài II.2 thì đã từng nghe đến phương pháp này rồi, nhưng chưa dùng bao giờ   
Trượt mất!

Đa số BĐT vòng 1 khó hơn vòng 2 mà. Làm được ngày 2 thì chắc chắn đỗ. Thầy cô bên KHTN chấm nhẹ tay mà

[Dinh Xuan Hung]

Câu 4.2 dùng BĐT này :

$\sum ab+abc\leqslant 4\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+2}\leqslant 1$

Ta có:$\sum \frac{a}{a+2}\leq 1\Leftrightarrow \frac{\sum a(a+2)(b+2)}{(a+2)(b+2)(c+2)}\leq 1\Leftrightarrow \sum a(a+2)(b+2)\leq abc+2ab+2bc+2ac+4a+4b+4c+8\Leftrightarrow \sum a(ab+2a+2b+4)\leq abc+2ab+2bc+2ac+4a+4b+4c+8\Leftrightarrow \sum (a^2b+2a^2+2ab+4a) \leq abc+2ab+2bc+2ac+4a+4b+4c+8$

Chứng minh làm sao ra được cái giả thiết hả HƯỚNG

Theo mình thì phải là

$\sum ab+abc\leq 4\Leftrightarrow (a+2)(b+2)(c+2)\leq (a+2)(b+2)+(a+2)(c+2)+(b+2)(c+2)\Leftrightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\geq 1$

Không bít có đúng không nếu đúng thì ai có thể giúp mình cm theo cách này được không

[marcoreus101]

Ta có:$\sum \frac{a}{a+2}\leq 1\Leftrightarrow \frac{\sum a(a+2)(b+2)}{(a+2)(b+2)(c+2)}\leq 1\Leftrightarrow \sum a(a+2)(b+2)\leq abc+2ab+2bc+2ac+4a+4b+4c+8\Leftrightarrow \sum a(ab+2a+2b+4)\leq abc+2ab+2bc+2ac+4a+4b+4c+8\Leftrightarrow \sum (a^2b+2a^2+2ab+4a) \leq abc+2ab+2bc+2ac+4a+4b+4c+8$

Chứng minh làm sao ra được cái giả thiết hả HƯỚNG

Theo mình thì phải là

$\sum ab+abc\leq 4\Leftrightarrow (a+2)(b+2)(c+2)\leq (a+2)(b+2)+(a+2)(c+2)+(b+2)(c+2)\Leftrightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\geq 1$

Không bít có đúng không nếu đúng thì ai có thể giúp mình cm theo cách này được không

Trong bài viết này có đề cập tới, nhưng chỉ nói tới dấu bằng trong việc đặt ẩn phụ

http://diendantoanho...4610-bđt-am-gm/

[Dinh Xuan Hung]

         TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN                               TRƯỜNG THPT KHOA HỌC VÀ TỰ NHIÊN

                                                           

                                                              MÔN THI:TOÁN(VÒNG II)

                                   Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I.(3 điểm)

1)Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn:$(3a+3b+3c)^3=24+(3a+b-c)^3+(3b+c-a)^3+(3c+a-b)^3$.Chứng minh rằng:$(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1$

2)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5 & & \\ 27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x & & \end{matrix}\right.$

Câu II.(3 điểm)

1)Tìm số tự nhiên $n$ để $n+5$ và $n+30$ đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)

2)Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn đẳng thức:$1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

3)Giả sử $x,y,z$ là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{x}{\sqrt{y+z-4}}+\frac{y}{\sqrt{z+x-4}}+\frac{z}{\sqrt{x+y-4}}$

Câu III.(3 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân với $AB<AC$.Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đoạn $AM$.Trên tia đối của tia $AM$ lấy điểm $N$ sao cho $AN=2MH$

1)Chứng minh rằng $BN=AC$

2)Gọi $Q$ là điểm đối xứng với $A$ qua $N$.Đường thẳng $AC$ cắt $BQ$ tại $D$.Chứng minh rằng bốn điểm $B,D,N,C$ cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là $(O)$

3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AQD$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $D$.Chứng minh rằng $NG$ song song với $BC$

Câu IV.(1 điểm)

Ký hiệu $S$ là tập hợp gồm $2015$ điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của $S$ không cùng nằm trên một đường thẳng.Chứng minh rằng có ít nhất $2015$ đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của $S$

                                                                        

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

 

 

[hoctrocuaHolmes]

         TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN                               TRƯỜNG THPT KHOA HỌC VÀ TỰ NHIÊN

                                                           

                                                              MÔN THI:TOÁN(VÒNG II)

                                   Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I.(3 điểm)

1)Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn:$(3a+3b+3c)^3=24+(3a+b-c)^3+(3b+c-a)^3+(3c+a-b)^3$.Chứng minh rằng:$(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1$

Câu II.(3 điểm)

1)Tìm số tự nhiên $n$ để $n+5$ và $n+30$ đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)

 

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

1.Đặt $\left\{\begin{matrix} 3a+b-c=x & & \\ 3b+c-a=y & & \\ 3c+a-b=z & & \end{matrix}\right.$

Ta có $(3a+3b+3c)^3=24+(3a+b-c)^3+(3b+c-a)^3+(3c+a-b)^3\Leftrightarrow (x+y+z)^{3}=24+x^{3}+y^{3}+z^{3}$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^{3}=24+(x+y+z)^{3}-3(x+y)(y+z)(z+x)\Leftrightarrow 24-3(x+y)(y+z)(z+x)=0\Leftrightarrow 24-3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=0\Leftrightarrow 24-24(a+2b)(b+2c)(c+2a)=0\Leftrightarrow (a+2b)(b+2c)(c+2a)=1$

2.Đặt $\left\{\begin{matrix} n+5=x^{2} & \\ n+30=y^{2}& \end{matrix}\right.$      ($x;y$ là số tự nhiên lớn hơn $0$)

$\Leftrightarrow y^{2}-x^{2}=25\Leftrightarrow (y-x)(y+x)=1.25$ (vì $x;y$ là số tự nhiên lớn hơn $0$)

Lại có $y-x<y+x$ nên $\left\{\begin{matrix} y-x=1 & \\ y+x=25 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=13 & \\ x=12 & \end{matrix}\right.$

Thay vào ta tính được $n=139$ thoả mãn

[ducbau007]

đặt $\sqrt{y+z-4}=a ; \sqrt{x+z-4}=b ; \sqrt{y+x-4}=c$ 

ta được  $x=\frac{b^{2}+c^{2}+4-c^{2}}{2}; y=\frac{a^{2}+c^{2}+4-b^{2}}{2}; z=\frac{b^{2}+a^{2}+4-c^{2}}{2};$

hay P = $2\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$

Có $P \geq 2 \frac{9}{a+b+c} +\frac{(2(a+b+c))^{2}}{4(a+b+c)}-\frac{a+b+c}{2}$

hay  P $\geq \frac{18}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{2} \geq 6$

Vậy P $\geq$ 6

Dấu = mn tự xử he     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducbau007: 31-05-2015 - 14:29

[hxthanh]

$\dfrac{k(k-1)}{2}< x\le \dfrac{k(k+1)}{2}\Rightarrow \dfrac{-1+\sqrt{1+8x}}{2}\le k<\dfrac{1+\sqrt{1+8x}}{2}\Rightarrow$

đoạn này chứng minh như thế nào hả thầy. Em chưa hiểu rõ đoạn này

Giả sử $x$ nằm trên đường chéo thứ $k$ thì trước nó là $k-1$ đường chéo, mà đường chéo thứ $i$ có $i$ số hạng nên

$1+2+...+(k-1)< x\le 1+2+...+k\Leftrightarrow \dfrac{k(k-1)}{2}< x\le \dfrac{k(k+1)}{2}\Leftrightarrow\begin{cases}k^2-k-2x< 0\\ k^2+k-2x\ge 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \dfrac{-1+\sqrt{1+8x}}{2}\le k<\dfrac{1+\sqrt{1+8x}}{2}\Rightarrow k=\left\lceil\dfrac{-1+\sqrt{1+8x}}{2}\right\rceil$

Phải không nào?

[Trang Luong]

         TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN                               TRƯỜNG THPT KHOA HỌC VÀ TỰ NHIÊN

                                                           

                                                              MÔN THI:TOÁN(VÒNG II)

                                   Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I.(3 điểm)

1)Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn:$(3a+3b+3c)^3=24+(3a+b-c)^3+(3b+c-a)^3+(3c+a-b)^3$.Chứng minh rằng:$(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1$

2)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5 & & \\ 27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x & & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5\\ 27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+2)(y+2)=9\\ 27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow y^3+x^3+7+3(x+y)(x+2)(y+2)=27x^3+27x^2+9x\Leftrightarrow y^3+x^3+8+3xy(x+y)+12(x+y)+6(x+y)^2=(3x+1)^3\Leftrightarrow (x+y+2)^3=(3x+1)^3\Rightarrow x+y+2=3x+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 31-05-2015 - 14:33

[viet nam in my heart]

Câu hình có cách nào không cần QDAG điều hòa không mấy anh. Em làm bằng cách điều hòa sợ không có điểm. Bài bđt ngày 2 ra 6 chứ nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 31-05-2015 - 13:16

[ChiLanA0K48]

Câu III.(3 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân với $AB<AC$.Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đoạn $AM$.Trên tia đối của tia $AM$ lấy điểm $N$ sao cho $AN=2MH$

1)Chứng minh rằng $BN=AC$

2)Gọi $Q$ là điểm đối xứng với $A$ qua $N$.Đường thẳng $AC$ cắt $BQ$ tại $D$.Chứng minh rằng bốn điểm $B,D,N,C$ cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là $(O)$

3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AQD$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $D$.Chứng minh rằng $NG$ song song với $BC$

 

 

Bài giải

 

a)Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua $M$. suy ra $HP=HM+MB=2HM+AH=AN+AH=HN$ suy ra $H$ là trung điểm $NP$ mà $BH\perp NP$ suy ra tam giác $PNB$ cân tại $P$ suy ra $BN=BP$. Mặt khác lại có $M$ là trung điểm $BC,AP$ suy ra tứ giác $ACPB$ là hình bình hành, suy ra $AC=BP$. Từ đó suy ra $AC=BN$.

b) Do tứ giác $ACPB$ là hình bình hành, suy ra $\angle PAC=\angle APB$ mà do tam giác $PBN$ cân tại $B$ suy ra $\angle APB=\angle ANB$ suy ra $\angle ANB=\angle PAC$ suy ra $\angle CAN=\angle BNQ$. Lại có $AC=NB, NQ=AN$ suy ra $\triangle BNQ=\triangle CAN$ suy ra $\angle NBD=\angle NCD$ suy ra $N,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn.

c) $G$ là giao điểm $(DQG)$ với $(DBC)$ suy ra $\angle CAG=\angle BQG$ mà $\angle GBQ=\angle GCA$ suy ra $\triangle GBQ\sim \triangle GCA$, suy ra $\dfrac{GA}{AC}=\dfrac{GQ}{QB}=$ suy ra $\dfrac{GA}{NB}=\dfrac{GQ}{NC}$ mà $\angle BNC=\angle BDC=\angle AGQ$ suy ra $\triangle NBC\sim \triangle GAQ$ suy ra $\angle GQA=\angle NCB$ suy ra $\angle NCB=\angle GDC$ suy ra $GC=NB$ suy ra $NG\parallel BC$.

[cachuoi]

Câu bđt 2 ngày

[ducbau007]

Câu hình có cách nào không cần QDAG điều hòa không mấy anh. Em làm bằng cách điều hòa sợ không có điểm. Bài bđt ngày 2 ra 6 chứ nhỉ

ừ mình tính nhầm        

[cachuoi]

[cachuoi]

[cachuoi]

Câu tổ hợp ngày 2 quy nạp đơn giản , ngày 1 để ý chút quy luật là xong ,

[ducbau007]

fix rùi đấy , có cả cách giải lun 

[hoangtunglam]

     

 

2)Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn đẳng thức:$1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

 

 

$\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\Leftrightarrow (\sqrt{x+y+3})^{2}=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^{2}\Leftrightarrow x+y+3= x+y+1+2\sqrt{xy}-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{y}-1)-(\sqrt{y}-1)=2\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=2. y=1\Rightarrow x=...(ktm).y\neq 1\Rightarrow \sqrt{y}-1\geqslant0 x\epsilon Z\Rightarrow \sqrt{x}\epsilon N\Rightarrow \sqrt{x}-1\leqslant 2\Leftrightarrow {\sqrt{x}}\leq 3\Leftrightarrow 0\leqslant x\leqslant 9$

sau đó xét các th của x tìm đc y

ai giải dùm mình câu cuối đy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtunglam: 01-06-2015 - 22:24

[ZzNightWalkerZz]

Loiw

 

$\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\Leftrightarrow (\sqrt{x+y+3})^{2}=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^{2}\Leftrightarrow x+y+3= x+y+1+2\sqrt{xy}-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{y}-1)-(\sqrt{y}-1)=2\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=2. y=1\Rightarrow x=1.y\neq 1\Rightarrow \sqrt{y}-1\geqslant0 x\epsilon Z\Rightarrow \sqrt{x}\epsilon N\Rightarrow \sqrt{x}-1\leqslant 2\Leftrightarrow {\sqrt{x}}\leq 3\Leftrightarrow 0\leqslant x\leqslant 9$

sau đó xét các th của x tìm đc y

 

 

ai giải dùm mình câu cuối đy

Lời giải câu cuối nè :

Giả sử trong $2015$ điểm có $n$ điểm thẳng hàng ($n\leq2014$) (Có thể có nhiều điểm thẳng hàng khác nhưng không thẳng hàng với $n$ điểm này nhưng không cần quan tâm)

Với $n=1$ tức là không có bất kì hai điểm nào thẳng hàng thì điều phải chứng minh đã rõ

Với $n>1$ thì số đường kẻ từ các điểm còn lại đến $n$ điểm này là $n(2015-n)$

Cộng thêm 1 đường thẳng nữa đi qua n điểm thì số đường thẳng ít nhất là $n(2015-n)+1$

Giờ chỉ việc chứng minh nó $\geq2015$ thôi. Thật vậy ta có : $2015(n-1)-(n-1)(n+1)\geq0<=>(2014-n)(n-1)\geq0$ (Điều này luôn đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 31-05-2015 - 16:17

[ZzNightWalkerZz]

Bài bất đẳng thức có lời giải này khá ngắn gọn

$\sum \frac{x}{4\sqrt{y+z-4}}\geq\sum \frac{x}{y+z}\geq \frac{3}{2}$ (Áp dụng bất đẳng thức Cosi)

Dấu $= : x=y=z=4$

Đề KHTN năm nay dễ ghê, mỗi tội bố mẹ không cho đi thi 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 31-05-2015 - 16:12