Chủ đề này có 2 trả lời

[Huy Thong]

1. Cho $a, b, c$ thoả $a+b+c=-9.$ Tìm min của $a^4+b^4+c^4-8(a^2+b^2+c^2).$

2. Cho $a,b,c$ thỏa $a\leq 6, b\leq -8, c\leq 3.$ Chứng minh rằng với mọi $x\geq1$ thì $x^4\geq ax^2+bx+c.$

[Pham Quoc Thang]

Bài 1.Bạn dùng pp tiếp tuyến để làm
Dự đoán:$a^4-8a^2 \geq -60a-171 \Leftrightarrow (a+3)^2(a^2-6a+19) \geq 0$ (luôn đúng)
Suy ra:$ \sum{a^4}-8(\sum{a^2}) \geq 27 $
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=-3$

[25 minutes]

 

2. Cho $a,b,c$ thỏa $a\leq 6, b\leq -8, c\leq 3.$ Chứng minh rằng với mọi $x\geq1$ thì $x^4\geq ax^2+bx+c.$

Xét hàm số $f(x)=x^4-ax^2-bx-c$

$\Rightarrow f'(x)=4x^3-2ax-bx\geqslant 4x^3-12x+8=4(x-1)^2(x+2)\geqslant 0$, do $a \leqslant 6, b \leqslant -8$

Khi đó $f(x)\geqslant f(1)=1-a-b-c\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm