Chứng minh không tồn tại hàm số $f(x)$ xác định với mọi số thực $x$ và thỏa mãn $f(f(x))=x^2-2$ với mọi x
$f(f(x))=x^2-2$
#1
Đã gửi 01-06-2015 - 15:15
#2
Đã gửi 01-06-2015 - 15:48
Chứng minh không tồn tại hàm số $f(x)$ xác định với mọi số thực $x$ và thỏa mãn $f(f(x))=x^2-2$ với mọi x
ta chứng minh bài toán tổng quát sau
$\blacksquare$ $\boxed{\text{Tổng quát hóa}}$
Cho $S$ là một tập hợp và $g:S\rightarrow S$ có chính xác hai điểm cố định $\left \{ a,b \right \}$ và $g\circ g$ có chính xác $4$ điểm cố định $\left \{ a,b,c,d \right \}$
CMR không tồn tại hàm số $f:S\rightarrow S$ sao cho $g=f\circ f$
$\triangleright$ Chứng minh
đặt $y=g(c)\Rightarrow g(y)=g\left ( g(c) \right )=c\Rightarrow y=g(c)=g(g(y))$
$\Rightarrow$ $y$ là một điểm cố định của $g\circ g$
$-$ với $g(c)=a\Rightarrow a=g(a)=g(g(c))=c$ $($ vô lí $)$
$-$ với $g(c)=b$ tương tự như trên ta có mâu thuẫn
$-$ với $g(c)=c$ thì $c$ là điểm cố định của $g$ $($ vô lí $)$
do đó ta có $g(c)=d$ và tương tự như vậy ta có $g(d)=c$
giả sử tồn tại hàm $f$ thỏa đề rằng $g=f\circ f$ do đó ta có $f\circ g=f\circ f\circ f=g\circ f$
$\Rightarrow f(a)=f(g(a))=g(f(a))$
$\Rightarrow$ $f(a)$ là một điểm bất động của $g$ do đó $f\left \{ a,b \right \}=\left \{ a,b \right \}$
mặt khác $f(c)=f\left ( g\left ( g(c) \right ) \right )=g(f(g(c)))=g(g(f(c)))$
$\Rightarrow$ $f(c)$ là một điểm bất động của $g\circ g$ nên $f\left \{ a,b,c,d \right \}=\left \{ a,b,c,d \right \}$
giờ ta xét $f(c)$
$-$ nếu $f(c)=a\Rightarrow f(a)=f(f(c))=g(c)=d$ $($ mâu thuẫn $)$
$-$ nếu $f(c)=b$ thì tương tự như trên ta cũng có mâu thuẫn
$-$ nếu $f(c)=c\Rightarrow c=f(c)=f(f(c))=g(c)$ $($ mâu thuẫn với giả thiết $)$
$-$ nếu $f(c)=d\Rightarrow f(d)=f(f(c))=g(c)=d$ thì tương tự như trên ta cũng có điều vô lí
do đó không tồn tại hàm $f$ thỏa đề $\blacksquare$
$\blacksquare$ $\boxed{\text{Quay lại bài toán}}$
áp dụng bài toán trên với $g(x)=x^2-2$ có $2$ điểm bất động là $\left \{ -1,2 \right \}$
và $g(g(x))=(x^2-2)^2-2$ có $4$ điểm bất động là $\left \{ -1,2,\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right \}$
Do đó không tồn tại hàm $f$ thỏa đề $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 01-06-2015 - 17:42
- toanc2tb, Super Fields, Dung Du Duong và 4 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh