Chủ đề này có 4 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Chứng minh rằng với mọi số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$, ta có BĐT

                           $\frac{1}{xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{3}{2}$

Spoiler

Hay!

[Hoang Tung 126]

Chứng minh rằng với mọi số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$, ta có BĐT

                           $\frac{1}{xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{3}{2}$

Spoiler

Hay!

Theo Cosi ta có :

 

  $\frac{1}{2xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq 2\sqrt{\frac{2}{xyz(x+y)(y+z)(x+z)}}$

 $=2\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{(xy+xz)(yz+yx)(zx+zy)}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{(xy+xz+yz+yx+zx+zy)^3}{27}}}=\frac{2\sqrt{54}}{\sqrt{8(xy+yz+xz)^3}}=\frac{2\sqrt{54}}{\sqrt{8.3^3}}=1= > \frac{1}{2xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq 1$  (1)

 

 Mà $3=xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}= > xyz\leq 1= > \frac{1}{2xyz}\geq \frac{1}{2}$ (2)

 

 Cộng theo vế (1),(2) $= > \frac{1}{xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

 

 Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 01-06-2015 - 16:05

[tank06536]

xem thử cách của mình 

Đặt biểu thức cần cm là  P

ta có $P= \frac{8}{8xyz}+\frac{8}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

mà $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=3(x+y+z)-xyz$

      $(xy+yz+zx)^{2}\geq 3xyz(x+y+z)\Leftrightarrow \frac{9}{xyz}\geq 3(x+y+z)\Rightarrow 3(x+y+z)\leq 9$

      $3=xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\Rightarrow xyz\leq 1$

       $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=\frac{8}{3}(x+y+z)\geq \frac{8}{3}.\sqrt{3(xy+yz+zx)}=8$

$P\geq \frac{32}{3(x+y+z)+7xyz}-\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{32}{9+7}-\frac{4}{8}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ (ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

mình mới học THCS thôi nên làm cách hơi dài thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tank06536: 01-06-2015 - 16:59

[nguyen thanh phong]

Một là 3=xy+yz+zx≥3(xyz)2−−−−−√3⇒xyz≤13=xy+yz+zx≥3(xyz)23⇒xyz≤1
Hai là: xyz(x+y)(y+z)(z+x)=(xy+yz)(yz+zx)(zx+xy)≤(xy+yz+yz+zx+zx+xy3)3=8xyz(x+y)(y+z)(z+x)=(xy+yz)(yz+zx)(zx+xy)≤(xy+yz+yz+zx+zx+xy3)3=8
Do đó mờ:
P=12xyz+12xyz+4(x+y)(y+z)(z+x)≥12+22√xyz(x+y)(y+z)(z+x)√≥32

[nguyen thanh phong]

ừ gt: 1x+1y+1z=3xyz1x+1y+1z=3xyz
Đặt: 1x=a,1y=b,1z=c1x=a,1y=b,1z=c
Thế thì a+b+c=3abca+b+c=3abc

1xyz+4(x+y)(y+z)(z+x)=abc+4a2b2c2(a+b)(b+c)(c+a)=abc(1+4(a+b)(b+c)(c+a))1xyz+4(x+y)(y+z)(z+x)=abc+4a2b2c2(a+b)(b+c)(c+a)=abc(1+4(a+b)(b+c)(c+a))

≥abc(1+272(a+b+c)3)=abc(12+12+272(a+b+c)3)≥abc(1+272(a+b+c)3)=abc(12+12+272(a+b+c)3)


≥abc.92(a+b+c)≥abc.92(a+b+c) (Cauchy 3 số)

=a+b+c3.92(a+b+c)=32