Chủ đề này có 2 trả lời

[happyfree]

1. Giải phương trình 2 ẩn nguyên dương : $x^{y^{x}}=y^{x^{y}}$

[Quoc Tuan Qbdh]

x=y đừng spam nha đợi mình suy nghĩ

[lahantaithe99]

Có $x=y$ là nghiệm của phương trình

Nếu $x\neq y$. Do vai trò $x,y$ như nhau nên giả sử $x>y$. Khi đó $\left ( \frac{x}{y} \right )^{y^x}=y^{x^y-y^x}>1\Rightarrow x^y>y^x$ và $t=\frac{x}{y}\in\mathbb{N},t>1$

 

Đặt $x=p_1^{m_1}.....p_k^{m_k}$ thì  $y=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$, gcd$(p_i,p_j)=1\forall i\neq j$.

Thu được $\frac{m_i}{n_i}=\frac{x^y}{y^x}=\frac{t^y}{y^{y(t-1)}}>1\Leftrightarrow t^y>y^{y(t-1)}\rightarrow t>y^{t-1}$

Mà bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh với $y,t\in\mathbb{N^*}$ thì  $y^{t-1}\geq (y-1)(t-1)+1\geq t$

Dấu $=$ xảy ra khi $t-1=0$ ( loại ) hoặc $t-1=1\rightarrow t=2\rightarrow x=y=1$ ( vô lí vì $x\neq y$ )

Vậy $x=y\in\mathbb{N^*}$ là nghiệm của phương trình