Lời giải bài toán 6.
Ta có bổ đề sau: Cho $F_n$ là dãy $Fibonacci$. Khi đó với mọi $n$ nguyên dương ta có:
$F_{1}^2+F_{2}^2+......+F_{n}^2=F_n.F_{n+1}$
Chứng minh bổ đề:
Ta chứng minh quy nạp theo $n$, dễ thấy đẳng thức đúng với $n=1$. Giả sử đẳng thức đã cho đúng tới $n=k, k\in N$, tức là:
$F_{1}^2+F_{2}^2+.......+F_{k}^2=F_k.F_{k+1}.$
Xét $n=k+1$ ta có:
$F_{1}^2+F_{2}^2+......+F_{k+1}^2$
$=(F_{1}^2+F_{2}^2+.........+F_{k}^2) + F_{k+1}^2$
$= F_k.F_{k+1} +F_{k+1}^2$
$=F_{k+1}(F_k+F_{k+1})$
$=F_{k+1}.F_{k+2}$.
Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$
Bổ đề được chứng minh.
Ta có một tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức như sau:
Tiêu chuẩn Perron:
Cho đa thức nguyên $P(x)= \sum_{i=0}^{k} a_{i}x^{i} $ có $a_0 \ne 0$. Khi đó nếu
$|a_{n-1}| > |a_0|+|a_1|+....+|a_{n-2}| +|a_n|$
thì đa thức này bất khả quy.
Tiêu chuẩn này được chứng minh trong nhiều sách và tài liệu.
Quay trở lại bài toán
Theo tiêu chuẩn $Perron$ ta chỉ cần chứng minh
$F_{n+1}^2 > F_{1}^2+F_{2}^2+.......+F_{n}^2$
Mà theo bổ đề trên thì ta quy về $F_{n+1}^2 > F_n.F_{n+1}$ hay $F_{n+1} >F_{n}$ (luôn đúng với mọi $n$ nguyên dương)
Vậy bài toán được chứng minh.