Chủ đề này có 9 trả lời

[XanCao]

1) Cho a,b,c>0

 $a+b+c=2$

Tìm min $\sqrt{2a+bc} + \sqrt{2b+ac} + \sqrt{2c+ab}$

 

2)

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

CMR: $\left | \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a}\right |< \frac{1}{8}$

 

3)

Cho ad-bc=1

CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd\geq \sqrt{3}$

 

4)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12$

Tìm max $\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{3y+2z+x}+\frac{1}{3z+2x+y}$

 

5)

Tìm min, max $\sqrt{2x-3} + 2\sqrt{3-x}$

 

 

 

 

[Nhok Tung]

Ai giải giùm câu 3 với 

[Truong Gia Bao]

1) Cho a,b,c>0

 $a+b+c=2$

Tìm min $A=\sqrt{2a+bc} + \sqrt{2b+ac} + \sqrt{2c+ab}$

Thế $a+b+c=2$ vào $A$ , phân tích thành nhân tử có: $A=\sum \sqrt{(a+b)(b+c)}\leq \sum \frac{a+2b+c}{2}=2(a+b+c)=4$ (theo Cô-si)

[Pham Quoc Thang]

3)

Ta có: \[{{(ac+bd)}^{2}}+{{(ad-bc)}^{2}}={{a}^{2}}{{c}^{2}}+2abcd+{{b}^{2}}{{d}^{2}}+{{a}^{2}}{{d}^{2}}-2abcd+{{b}^{2}}{{c}^{2}}\]

\[={{a}^{2}}\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)+{{b}^{2}}\left( {{d}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\]

Vì \[ad-bc=1\] nên \[1+{{(ac+bd)}^{^{2}}}=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\quad (1)\]

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm \[\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\quad ;\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\] có: \[P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+ac+bd\ge 2\sqrt{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)}+ac+bd\]

 

\[\Rightarrow P\ge 2\sqrt{1+{{\left( ac+bd \right)}^{2}}}+ac+bd\]   (theo (1))

Rõ ràng \[P>0\] vì: \[2\sqrt{1+{{\left( ac+bd \right)}^{2}}}>{{\left| ac+bd \right|}^{2}}\]

Đặt \[x=ac+bd\],ta có: \[P\ge 2\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x\]\[\Leftrightarrow {{P}^{2}}\ge 4\left( 1+{{x}^{2}} \right)+4x\sqrt{1+{{x}^{2}}}+{{x}^{2}}=\left( 1+{{x}^{2}} \right)+4x\sqrt{1+{{x}^{2}}}+4{{x}^{2}}+3\]

 

\[={{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+2x \right)}^{2}}+3\ge 3\]

 

Vậy \[P\ge \sqrt{3}\]

 

[tank06536]

mình xin giải câu 4

Đặt biểu thức cần cm là P

        $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{1}{y}$, $c=\frac{1}{z}$

ta có $3x+2y+z=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{3a+2b+c}$

tương tự $3y+2z+x\geq \frac{36}{3b+2c+a}$

 

$3z+2x+y\geq \frac{36}{3c+2a+b}$

$P\leq \frac{3a+2b+c}{36} +\frac{3b+2c+a}{36}+\frac{3c+2a+b}{36}=\frac{6(a+b+c)}{36}$

Do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12 \Rightarrow a+b+c=12$

$\Rightarrow P\leq \frac{6.12}{36}=2$

dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tank06536: 02-06-2015 - 18:44

[Hoang Nhat Tuan]

1) Cho a,b,c>0

 $a+b+c=2$

Tìm min $\sqrt{2a+bc} + \sqrt{2b+ac} + \sqrt{2c+ab}$

 

2)

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

CMR: $\left | \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a}\right |< \frac{1}{8}$

 

3)

Cho ad-bc=1

CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd\geq \sqrt{3}$

 

4)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12$

Tìm max $\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{3y+2z+x}+\frac{1}{3z+2x+y}$

 

5)

Tìm min, max $\sqrt{2x-3} + 2\sqrt{3-x}$

Mình xin làm câu 4 theo cách khác:

$\sum \frac{1}{3x+2y+z}\leq \frac{1}{9}\sum (\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{36}\sum (\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z})$

$=\frac{1}{36}.6.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=2$

[Hoang Nhat Tuan]

Câu 5: Tìm max:

$\sqrt{2x-3}\leq \frac{2x-2}{2}=x-1$

$2\sqrt{3-x}\leq 4-x$

Do đó max=3

[Minato]

Câu 5 tìm max theo cách #:

$VT^{2}=(\sqrt{2x-3}+\sqrt{2}.\sqrt{6-2x})^{2}\leq (1+2)(2X-3+6-2x)=9=>VT\leq 3$

[XanCao]

mình xin giải câu 4

Đặt biểu thức cần cm là P

        $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{1}{y}$, $c=\frac{1}{z}$

ta có $3x+2y+z=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{3a+2b+c}$

tương tự $3y+2z+x\geq \frac{36}{3b+2c+a}$

 

$3z+2x+y\geq \frac{36}{3c+2a+b}$

$P\leq \frac{3a+2b+c}{36} +\frac{3b+2c+a}{36}+\frac{3c+2a+b}{36}=\frac{6(a+b+c)}{36}$

Do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12 \Rightarrow a+b+c=12$

$\Rightarrow P\leq \frac{6.12}{36}=2$

dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}$ 

 

Bạn ơi, nếu dùng BĐT Cauchy - Schwarz thì a,b,c phải >0 chứ?

Chỗ này nè:

$3x+2y+z=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{3a+2b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi XanCao: 02-06-2015 - 22:40

[tank06536]

Bạn ơi, nếu dùng BĐT Cauchy - Schwarz thì a,b,c phải >0 chứ?

Chỗ này nè:

$3x+2y+z=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{3a+2b+c}$

bài này thiếu điều kiện đấy

Do $x,y,z> 0$ nên kéo theo $a,b,c> 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tank06536: 03-06-2015 - 18:38