Sở GD-ĐT Nam Định ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong NĂM HỌC : 2015 - 2016
MÔN THI : TOÁN CHUYÊN
Câu 3: ( 3.0 điểm )
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại M , Một đường thẳng cắt đường tròn (O1) tại 2 điểm phân biệt A và B và tiếp xúc đường tròn (O2) tại E ( B nằm giữa A và E ) , Đường thẳng EM cắt đường tròn (O1) tại điểm J khác M , gọi C là điểm thuộc cung MJ không chứa A,B của đường tròn (O1) ( C khác M và J ) , Kẻ tiếp tuyến CF với đường tròn (O2) ( F là tiếp điểm ) sao cho các đoạn thẳng CF , MJ không cắt nhau , Gọi I là giao điểm các đường thẳng JC và EF , K là giao điểm khác A của AI và đường tròn (O1) Chứng minh rằng :
1) Tứ giác $MCFI$ là tứ giác nội tiếp và $JA = JI = \sqrt{JE.JM}$
2) $CI$ là phân giác góc ngoài tại $C$ của tam giác $ABC$.
3) $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCI$.
------ HẾT------
Xóa bớt latex cho bài dễ nhìn
a) Qua $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $O_{1}O_{2}$ cắt $AE$ tại $P$.
Có: $\measuredangle IFM=\measuredangle EMP=\measuredangle MAJ$
Mặt khác: $\measuredangle ICM=\measuredangle CMJ + \measuredangle MJC=\measuredangle CAJ+\measuredangle CAM = \measuredangle MAJ$
$\Rightarrow \measuredangle IFM = \measuredangle ICM$
$\Rightarrow IMCF$ nội tiếp.
$\Rightarrow \measuredangle MIJ = \measuredangle MFC = \measuredangle MEI$
$\Rightarrow \Delta JMI \sim \Delta JIE\Rightarrow JI^2=JM.JE\Rightarrow JI=\sqrt{JM.JE}$
Lại có: $\measuredangle JAM =\measuredangle MCI =\measuredangle MFI = \measuredangle JEA$
$\Rightarrow $\measuredangle ACJ = \measuredangle AMJ =\measuredangle BAJ (\Delta JAM \sim \Delta JEA)$ \Rightarrow JA^2=JM.JE\Rightarrow JA=\sqrt{JM.JE}$
b) Kéo dài $AC$ thành tia $Ax$, ta cần chứng minh:
$\measuredangle BCI = \measuredangle ICx\Leftrightarrow \measuredangle BCI=\measuredangle ACJ$
Có: $\measuredangle BCI = \measuredangle BCM + \measuredangle MCI= \measuredangle BAM + \measuredangle MAJ =\measuredangle BAJ$
$\Rightarrow \measuredangle BCI = \measuredangle ICx$
$\Rightarrow CI$ là phân giác ngoài $\measuredangle BCx$
c) Có $AKCJ$ nội tiếp $\Rightarrow \measuredangle IAJ = \measuredangle KCI$
mà $JA=JI \Rightarrow \measuredangle JAI = \measuredangle JIA$
$\Rightarrow \measuredangle KCI = \measuredangle KIC\Rightarrow KC=KI$
Mặt khác: $BI$ là phân giác $\measuredangle EBC$ do đó $I$ là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của $\Delta ABC$
$\Rightarrow AI$ là phân giác $\measuredangle BAC \Rightarrow KB=KC$
Do đó ta có đpcm.
Câu hình NĐ khó kinh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 04-06-2015 - 09:44