Chủ đề này có 8 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho $x,y,z$ là 3 số dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức: $M=\frac{(x+y+z-1)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

[khanghaxuan]

Để ý : $(\sum a^{2}b)^{2}\leq (\sum a^{2})(\sum a^{2}b^{2})\leq 3.\frac{(\sum x^{2})^{2}}{3}\leq 3.3=9\Rightarrow \sum a^{2}b\leq 3$

Đó là chìa khóa của bài toán này  

[Quoc Tuan Qbdh]

$\inline Áp dụng BĐT Svacxo cho x,y,z dương \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 9/(x+y+z) \geq 9/\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3 Dấu "=" khi x=y=z=1$ 

[Truong Gia Bao]

Để ý : $(\sum a^{2}b)^{2}\leq (\sum a^{2})(\sum a^{2}b^{2})\leq 3.\frac{(\sum x^{2})^{2}}{3}\leq 3.3=9\Rightarrow \sum a^{2}b\leq 3$

Đó là chìa khóa của bài toán này  

em làm còn qua cả đoạn này rồi cơ anh à. Nhưng phần cuối ta phải đi tìm min của $\frac{(a-1)^2}{3}+\frac{9}{a}$ với $a\leq 3$.

Làm như nào đây anh?

[Quoc Tuan Qbdh]

em làm còn qua cả đoạn này rồi cơ anh à. Nhưng phần cuối ta phải đi tìm min của $\frac{(a-1)^2}{3}+\frac{9}{a}$ với $a\leq 3$.

Làm như nào đây anh?

$Áp dụng (x+y)^{2} \geq 4xy ta có : (a-1)^{2} \geq -4a \geq -12 a \leq 3 => \frac{9}{a} \geq 3 sum \geq -9$

[Truong Gia Bao]

$Áp dụng (x+y)^{2} \geq 4xy ta có : (a-1)^{2} \geq -4a \geq -12 a \leq 3 => \frac{9}{a} \geq 3 sum \geq -9$

Dấu "=" xảy ra khi nào đây, Mai Quốc Tuấn?

[Quoc Tuan Qbdh]

khi a = 3  

 

Dấu "=" xảy ra khi nào đây, Mai Quốc Tuấn?

[Truong Gia Bao]

khi a = 3  

Suy nghĩ kĩ lại đi, điểm rơi của bài này đương nhiên a=3, nhưng làm theo cách của bạn với a=3 thì dấu = đầu tiên ko hề xảy ra, chỗ đó xảy ra khi a=-1 mà

[hoanglong2k]

em làm còn qua cả đoạn này rồi cơ anh à. Nhưng phần cuối ta phải đi tìm min của $\frac{(a-1)^2}{3}+\frac{9}{a}$ với $a\leq 3$.

Làm như nào đây anh?

$\frac{(a-1)^2}{3}+\frac{9}{a}=\frac{a^2-2a+1}{3}+\frac{9}{a}=\frac{a^2}{3}+\frac{9}{a}-\frac{2a}{3}+\frac{1}{3}\geq 2\sqrt{3a}-\frac{2a}{3}+\frac{1}{3}\geq \frac{13}{3}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt3)(\sqrt a-2\sqrt3)\leq 0$