Chứng minh $ \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$
#1
Đã gửi 03-06-2015 - 21:57
#2
Đã gửi 03-06-2015 - 22:02
Cho $x;y \ge 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$
bạn có thể tham khảo ở đây http://olm.vn/hoi-da...tion/83036.html
#3
Đã gửi 04-06-2015 - 12:23
Cho $x;y \ge 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}$
Bài này biến đổi tương đương nha bạn
$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow \frac{(1+y^{2})(1+xy)+(1+x^{2})(1+xy)-2(1+x^{2})(1+y^{2})}{(1+x^{2})(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$
$\Leftrightarrow(1+y^{2})(1+xy)+(1+x^{2})(1+xy)-2(1+x^{2})(1+y^{2})\geq 0\Leftrightarrow (1+xy+y^{2}+xy^{3})+(1+xy+x^{2}+yx^{3})-2(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow (xy-1)(x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng vì $x;y\geq 1\Rightarrow xy-1\geq 0$)
Vậy BDT đã được chứng minh
- Nguyen Minh Hai, Watson1504, ngocanhnguyen10 và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 04-06-2015 - 17:26
Cho $x;y \ge 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$
Bài này tương tự nè. Cùng giải nhé!:
Cho $x;y;z\geq 1$. CM:
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{1+xyz}$
"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"
#5
Đã gửi 04-06-2015 - 21:40
Hình như chỗ mẫu $x,y,z$ phải là mũ 3 .Áp dụng bài trên , ta có:Bài này tương tự nè. Cùng giải nhé!:
Cho $x;y;z\geq 1$. CM:
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{1+xyz}$
$\frac{1}{1+x^3} + \frac{1}{1+y^3}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{x^3+y^3}}$
$\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{xyz^4}}$
$\Rightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge 2(\frac{1}{1+\sqrt{x^3+y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{xyz^4}})$ $\ge 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{x^3y^3xyz^4}}=\frac{4}{1+xyz}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Watson1504: 04-06-2015 - 21:43
- congdaoduy9a và ngocanhnguyen10 thích
#6
Đã gửi 04-06-2015 - 21:42
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Watson1504: 04-06-2015 - 21:46
#7
Đã gửi 05-06-2015 - 13:03
Hình như chỗ mẫu $x,y,z$ phải là mũ 3 .Áp dụng bài trên , ta có:
$\frac{1}{1+x^3} + \frac{1}{1+y^3}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{x^3+y^3}}$
$\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{xyz^4}}$
$\Rightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge 2(\frac{1}{1+\sqrt{x^3+y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{xyz^4}})$ $\ge 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{x^3y^3xyz^4}}=\frac{4}{1+xyz}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$
Không đâu bạn ơi! Đề thế là đúng rồi
Áp dụng bài CM trước ta có: $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ (1)
CM được $\frac{2}{1+xy}\geq \frac{2}{1+xyz}$ (2) (vì $x;y;z\geq 1$
Từ (1) và (2) => $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xyz}$ (3)
CM tương tự ta cũng có: $\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{2}{1+xyz}$ (4)
$\frac{1}{1+z^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}\geq \frac{2}{1+xyz}$ (5)
Cộng theo từng vế của (3); (4); (5) ta có:
$2.\left ( \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}} \right )\geq \frac{6}{1+xyz}$
=> $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2} \ge \frac{3}{1+xyz}$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=y=z=0 & & \\ x=y=z=1& & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 05-06-2015 - 13:05
- hoctrocuaHolmes và Watson1504 thích
"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"
#8
Đã gửi 07-06-2015 - 10:37
Bài này tương tự nè. Cùng giải nhé!:
Cho $x;y;z\geq 1$. CM:
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{1+xyz}$
Góp vui
Cho $x,y,z,t >0 thỏa x \leq y\leq z\leq t và yt \leq 1 CMR: \sum \frac{1}{1+x}\leq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}$
#9
Đã gửi 07-06-2015 - 11:23
Góp vui
Cho $x,y,z,t >0 thỏa x \leq y\leq z\leq t và yt \leq 1 CMR: \sum \frac{1}{1+x}\leq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}$
Chắc là giải như thế này:$1\geq yt\geq xz$
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+z}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xz}}$
Và: $\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+t}\leq \frac{2}{1+\sqrt{yt}}$
Áp dụng thêm 1 lần nữa => ĐPCM
- congdaoduy9a và Taj Staravarta thích
#10
Đã gửi 07-06-2015 - 14:53
Bài này biến đổi tương đương nha bạn
$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow \frac{(1+y^{2})(1+xy)+(1+x^{2})(1+xy)-2(1+x^{2})(1+y^{2})}{(1+x^{2})(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$
$\Leftrightarrow(1+y^{2})(1+xy)+(1+x^{2})(1+xy)-2(1+x^{2})(1+y^{2})\geq 0\Leftrightarrow (1+xy+y^{2}+xy^{3})+(1+xy+x^{2}+yx^{3})-2(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow (xy-1)(x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng vì $x;y\geq 1\Rightarrow xy-1\geq 0$)
Vậy BDT đã được chứng minh
cho con hỏi lại từ dấu tương đương 3 sang 4
#11
Đã gửi 07-06-2015 - 21:02
cho con hỏi lại từ dấu tương đương 3 sang 4
$(1+xy+y^{2}+xy^{3})+(1+xy+x^{2}+yx^{3})-2(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow 1+xy+y^{2}+xy^{3}+1+xy+yx^{3}-2-2x^{2}-2y^{2}-2x^{2}y^{2}\geq 0$
$ \Leftrightarrow 2xy-y^{2}+xy^{3}-x^{2}+yx^{3}-2x^{2}y^{2}\geq 0$
$ \Leftrightarrow y^{2}(xy-1)+x^{2}(xy-1)-2xy(xy-1)\geq 0$
$ \Leftrightarrow (xy-1)(x-y)^{2}\geq 0$
"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh