Chủ đề này có 2 trả lời

[letuananh29072000]

Cho a , b > 0 và a + b = 1. Chứng minh : 

    

         $\frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}} \geq 6$

[Hoangtheson2611]

Phải là lớn hơn hoặc bằng 4 

[yeutoanmaimai1]

Cho a , b > 0 và a + b = 1. Chứng minh : 

    

         $\frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}} \geq 6$

mình nghĩ đề phải là      $\frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}} \geq 4$ (dấu bằng xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

đặt $A= $\frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}$

$a+b=1$ nên $a=1-b$ $\rightarrow a^{2}=b^{2}-2b+1$

khi đó $A=\frac{1}{1-b}+\frac{1}{2b^{2}-2b+1}$

biến đổi tương đương $A\geq 4\Leftrightarrow 2b^{3}+1\geq 2b^{2}$

Áp dụng cô-si 3 số ta có $2b^{3}+1=b^{3}+b^{3}+1\geq 3\sqrt[3]{b^{3}*b^{3}}=3b^{2}\geq 2b^{2}$

Suy ra đpcm