Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}\leq \frac{3}{4}$
Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}\leq \frac{3}{4}$
#1
Đã gửi 04-06-2015 - 21:17
#2
Đã gửi 04-06-2015 - 21:25
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}\leq \frac{3}{4}$
Câu này chắc là sử dụng BĐT Cauchy-schwarz đây mà, lời giải không đẹp cho lắm
BĐT <=> $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{3}{2}$
Sử dụng BĐT C-S, ta có:
$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{\sum (a^2+b^2+2)}=\frac{\sum a^2+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}{\sum a^2+3}$
$\geq \frac{\sum a^2+\sum (a^2+bc)}{\sum a^2+3}=\frac{2\sum a^2+\sum bc}{\sum a^2+3}$
Sử dụng giả thiết $a+b+c=3$=> $2\sum a^2+\sum bc=\frac{3}{2}(\sum a^2+3)$
Từ đó => ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 04-06-2015 - 22:14
- Nguyen Minh Hai, Taj Staravarta, Lychee và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 05-06-2015 - 08:26
Câu này chắc là sử dụng BĐT Cauchy-schwarz đây mà, lời giải không đẹp cho lắm
BĐT <=> $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{3}{2}$
Sử dụng BĐT C-S, ta có:
$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{\sum (a^2+b^2+2)}=\frac{\sum a^2+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}{\sum a^2+3}$
$\geq \frac{\sum a^2+\sum (a^2+bc)}{\sum a^2+3}=\frac{2\sum a^2+\sum bc}{\sum a^2+3}$
Sử dụng giả thiết $a+b+c=3$=> $2\sum a^2+\sum bc=\frac{3}{2}(\sum a^2+3)$
Từ đó => ĐPCM
Lời giải đẹp đây
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}\leq \frac{3}{4}$
Giải
Để ý rằng $\frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+b^2+2}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2+2)}=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{4(a^2+b^2+2)}$
Vì vậy ta có để đưa BĐT cần C/m về dạng
$\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2}+\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2}\geq 3$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có
$\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$
$\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{4(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$
Vậy ta chỉ cần C/m $\frac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}\geq 3$
$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^2+2(a-c)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow (b-a)(b-c)\leq 0$
Điều này luôn đúng khi ta giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
- Lee LOng, huy2403exo, Hoang Long Le và 2 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh