Chủ đề này có 2 trả lời

[Taj Staravarta]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}\leq \frac{3}{4}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}\leq \frac{3}{4}$

Câu này chắc là sử dụng BĐT Cauchy-schwarz đây mà, lời giải không đẹp cho lắm 

BĐT <=> $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{3}{2}$

Sử dụng BĐT C-S, ta có:

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{\sum (a^2+b^2+2)}=\frac{\sum a^2+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}{\sum a^2+3}$

$\geq \frac{\sum a^2+\sum (a^2+bc)}{\sum a^2+3}=\frac{2\sum a^2+\sum bc}{\sum a^2+3}$

Sử dụng giả thiết $a+b+c=3$=> $2\sum a^2+\sum bc=\frac{3}{2}(\sum a^2+3)$

Từ đó => ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 04-06-2015 - 22:14

[nguyenhongsonk612]

Câu này chắc là sử dụng BĐT Cauchy-schwarz đây mà, lời giải không đẹp cho lắm 

BĐT <=> $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{3}{2}$

Sử dụng BĐT C-S, ta có:

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{\sum (a^2+b^2+2)}=\frac{\sum a^2+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}{\sum a^2+3}$

$\geq \frac{\sum a^2+\sum (a^2+bc)}{\sum a^2+3}=\frac{2\sum a^2+\sum bc}{\sum a^2+3}$

Sử dụng giả thiết $a+b+c=3$=> $2\sum a^2+\sum bc=\frac{3}{2}(\sum a^2+3)$

Từ đó => ĐPCM

Lời giải đẹp đây

 

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}\leq \frac{3}{4}$

Giải

Để ý rằng $\frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+b^2+2}=\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2+2)}=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{4(a^2+b^2+2)}$

Vì vậy ta có để đưa BĐT cần C/m về dạng

                 $\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2}+\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2}\geq 3$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có

$\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$

$\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{4(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$

Vậy ta chỉ cần C/m $\frac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}\geq 3$

                              $\Leftrightarrow 2(a+b+c)^2+2(a-c)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2$

                              $\Leftrightarrow (b-a)(b-c)\leq 0$

Điều này luôn đúng khi ta giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$