Cực trị hình học
#1
Đã gửi 04-06-2015 - 22:31
#2
Đã gửi 04-06-2015 - 23:54
Trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy D, E sao cho AE/EB=CD/AD. Gọi giao điểm của BD và CE là M. Xác định vị trí của E và D sao cho diện tích của tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo diện tích tam giác ABC.
-Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACE, ta có: \[\frac{{AD}}{{DC}}.\frac{{CM}}{{ME}}.\frac{{BE}}{{BA}} = 1 = > \frac{{CM}}{{ME}} = \frac{{CD.BA}}{{AD.BE}} = > \frac{{CM}}{{CE}} = \frac{{CD.BA}}{{AD.BE + CD.BA}} = \frac{{S(BMC)}}{{S(BCE)}}(1).\]
-Ta lại có: \[\frac{{S(BCE)}}{{S(ABC)}} = \frac{{BE}}{{BA}}(2).\]
-Lấy (1) nhân với (2), ta có: \[\frac{{S(BMC)}}{{S(ABC)}} = \frac{{CD.BE}}{{CD.AB + AD.BE}}\].
-Để S(BMC) max thì \[\frac{{S(BMC)}}{{S(ABC)}}\max < = > \frac{{S(ABC)}}{{S(BMC)}}\min < = > \frac{{CD.AB + AD.BE}}{{CD.BE}}\min < = > \frac{{AB}}{{BE}} + \frac{{AD}}{{CD}}\min < = > \frac{{AE}}{{EB}} + \frac{{AD}}{{CD}}\min \].
-Mà \[\frac{{AE}}{{EB}} + \frac{{AD}}{{CD}} \ge 2\sqrt {\frac{{AE}}{{EB}}.\frac{{AD}}{{CD}}} = 2\] (Dấu = xảy ra <=> \[\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{CD}}\]).
=> Để S(BMC) max thì E;D lần lượt là trung điểm của AB;AC.
-Khi đó S(BMC)=\[\frac{1}{3}S(ABC).\]
- Thu Huyen 21 và NPTV1207 thích
#3
Đã gửi 05-06-2015 - 09:57
-Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACE, ta có: \[\frac{{AD}}{{DC}}.\frac{{CM}}{{ME}}.\frac{{BE}}{{BA}} = 1 = > \frac{{CM}}{{ME}} = \frac{{CD.BA}}{{AD.BE}} = > \frac{{CM}}{{CE}} = \frac{{CD.BA}}{{AD.BE + CD.BA}} = \frac{{S(BMC)}}{{S(BCE)}}(1).\]
-Ta lại có: \[\frac{{S(BCE)}}{{S(ABC)}} = \frac{{BE}}{{BA}}(2).\]
-Lấy (1) nhân với (2), ta có: \[\frac{{S(BMC)}}{{S(ABC)}} = \frac{{CD.BE}}{{CD.AB + AD.BE}}\].
-Để S(BMC) max thì \[\frac{{S(BMC)}}{{S(ABC)}}\max < = > \frac{{S(ABC)}}{{S(BMC)}}\min < = > \frac{{CD.AB + AD.BE}}{{CD.BE}}\min < = > \frac{{AB}}{{BE}} + \frac{{AD}}{{CD}}\min < = > \frac{{AE}}{{EB}} + \frac{{AD}}{{CD}}\min \].
-Mà \[\frac{{AE}}{{EB}} + \frac{{AD}}{{CD}} \ge 2\sqrt {\frac{{AE}}{{EB}}.\frac{{AD}}{{CD}}} = 2\] (Dấu = xảy ra <=> \[\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{CD}}\]).
=> Để S(BMC) max thì E;D lần lượt là trung điểm của AB;AC.
-Khi đó S(BMC)=\[\frac{1}{3}S(ABC).\]
A ; C ; E thẳng hàng mà bạn
#4
Đã gửi 05-06-2015 - 10:32
Trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy D, E sao cho AE/EB=CD/AD. Gọi giao điểm của BD và CE là M. Xác định vị trí của E và D sao cho diện tích của tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo diện tích tam giác ABC.
A ; C ; E thẳng hàng mà bạn
Đề bị nhầm, phải là D trên AC, E trên AB
#5
Đã gửi 27-06-2015 - 10:27
đường tròn (O;R) đường kính AB điểm C cố định nằm giữa A và O , M đi dộng thuộc (O) tìm vị trí điểm M lúc CM lớn nhất và nhỏ nhất
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh