Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $A=\sum \frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Bài toán:  Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.

              Tìm GTNN của $A=\sum \frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{a}$


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#2
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

Bài toán:  Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.

              Tìm GTNN của $A=\sum \frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{a}$

$\frac{1}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$

Để í rằng: $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2+b^2}{ab}$

Do đó, chỉ cần find $min$: $\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta có $a+b+c=1$ nên $A=\sum_{cyc}\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a+b+c}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Xét: $\sum_{cyc}\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a+b+c}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{15}{4}=\sum_{cyc}\frac{2(a-b)^4}{4ab(a^2+b^2)}\geqq 0$*đúng*

$\Rightarrow A\geqslant \frac{15}{4}$ 

Vậy MinA $= \frac{15}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-04-2021 - 11:23

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh