Bài toán: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.
Tìm GTNN của $A=\sum \frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{a}$
Bài toán: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.
Tìm GTNN của $A=\sum \frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{a}$
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Bài toán: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.
Tìm GTNN của $A=\sum \frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{a}$
$\frac{1}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$
Để í rằng: $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2+b^2}{ab}$
Do đó, chỉ cần find $min$: $\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}$
Ta có $a+b+c=1$ nên $A=\sum_{cyc}\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a+b+c}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Xét: $\sum_{cyc}\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a+b+c}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{15}{4}=\sum_{cyc}\frac{2(a-b)^4}{4ab(a^2+b^2)}\geqq 0$*đúng*
$\Rightarrow A\geqslant \frac{15}{4}$
Vậy MinA $= \frac{15}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 10-04-2021 - 11:23
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh