Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại $c>0$ sao cho $a_{n}>nc,\forall n$.

- - - - - limits

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Cho dãy số dương $(a_{n})$ thỏa mãn : 
\begin{cases} a_{1}>0\\ a_{n+1}^{p}\geq a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\forall n\geq 1 \end{cases}
với $0<p<2$ cho trước . Chứng minh rằng tồn tại $c>0$ sao cho $a_{n}>nc,\forall n$. 
 


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho dãy số dương $(a_{n})$ thỏa mãn : 
\begin{cases} a_{1}>0\\ a_{n+1}^{p}\geq a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\forall n\geq 1 \end{cases}
với $0<p<2$ cho trước . Chứng minh rằng tồn tại $c>0$ sao cho $a_{n}>nc,\forall n$. 
 

từ giả thiết ta có $a_n\geq a_1^{\frac{1}{p}},\ \forall n$ do đó $a_n\ge (n-2)a_1^{\frac{1}{p}}+a_1,\ \forall n$

$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=+\infty\Rightarrow \exists n_0\in \mathbb{N}^*:a_n>1,\ \forall n> n_0$

xét $c$ mà $0<c<\min \left \{ \frac{1}{4},\frac{a_1}{1},\frac{a_2}{2},...,\frac{a_{n_0}}{n_0} \right \}\Rightarrow a_n>nc,\ \forall n\le n_0$

giờ ta sẽ chứng minh quy nạp rằng $a_n>nc,\ \forall n\ge n_0$    $(*)$

$\bigstar$ với $n=n_0$ thì hiển nhiên $(*)$ đúng

$\bigstar$ giả sử $(*)$ đúng tới $n=n_k>n_0$

$\bigstar$ ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n=n_k+1$,thật vậy

$a_{n_k+1}^2\ge a_{n_k+1}^p\geq a_1+...+a_{n_k}\geq (1+...+n_k)c=\frac{n_k(n_k+1)}{2}c\overset{c<\frac{1}{4}}{>}\left [ (n_k+1)c \right ]^2$

$\Rightarrow a_{n_k+1}>(n_k+1)c$ do đó $(*)$ được chứng minh nên ta có $\text{Q.E.D}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-06-2015 - 21:36

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: limits

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh