Cho dãy số dương $(a_{n})$ thỏa mãn :
\begin{cases} a_{1}>0\\ a_{n+1}^{p}\geq a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\forall n\geq 1 \end{cases}
với $0<p<2$ cho trước . Chứng minh rằng tồn tại $c>0$ sao cho $a_{n}>nc,\forall n$.
Chứng minh rằng tồn tại $c>0$ sao cho $a_{n}>nc,\forall n$.
#1
Đã gửi 05-06-2015 - 22:31
- nhungvienkimcuong yêu thích
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
#2
Đã gửi 29-06-2015 - 16:46
Cho dãy số dương $(a_{n})$ thỏa mãn :
\begin{cases} a_{1}>0\\ a_{n+1}^{p}\geq a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\forall n\geq 1 \end{cases}
với $0<p<2$ cho trước . Chứng minh rằng tồn tại $c>0$ sao cho $a_{n}>nc,\forall n$.
từ giả thiết ta có $a_n\geq a_1^{\frac{1}{p}},\ \forall n$ do đó $a_n\ge (n-2)a_1^{\frac{1}{p}}+a_1,\ \forall n$
$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=+\infty\Rightarrow \exists n_0\in \mathbb{N}^*:a_n>1,\ \forall n> n_0$
xét $c$ mà $0<c<\min \left \{ \frac{1}{4},\frac{a_1}{1},\frac{a_2}{2},...,\frac{a_{n_0}}{n_0} \right \}\Rightarrow a_n>nc,\ \forall n\le n_0$
giờ ta sẽ chứng minh quy nạp rằng $a_n>nc,\ \forall n\ge n_0$ $(*)$
$\bigstar$ với $n=n_0$ thì hiển nhiên $(*)$ đúng
$\bigstar$ giả sử $(*)$ đúng tới $n=n_k>n_0$
$\bigstar$ ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n=n_k+1$,thật vậy
$a_{n_k+1}^2\ge a_{n_k+1}^p\geq a_1+...+a_{n_k}\geq (1+...+n_k)c=\frac{n_k(n_k+1)}{2}c\overset{c<\frac{1}{4}}{>}\left [ (n_k+1)c \right ]^2$
$\Rightarrow a_{n_k+1}>(n_k+1)c$ do đó $(*)$ được chứng minh nên ta có $\text{Q.E.D}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-06-2015 - 21:36
- Chris yang, Bui Ba Anh và Belphegor Varia thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: limits
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh