Bài toán:
Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của:
$A=\sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab}$
Bài toán:
Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của:
$A=\sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab}$
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Bài toán:
Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của:
$A=\sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab}$
Vừa đi thi Midterm về mọi thứ đều nhạt nhẽo ghé qua VMF nhìn thấy bài toán trên nghĩ bụng bảo mình chả nhớ gì về BĐT xong cứ ấn vào loay hoay vs vài biến đổi đơn giản :v
Từ điều kiện ta suy ra $abc \leq \frac{1}{3}$ và $a+b+c \geq \sqrt{3}$
$ A = \sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab} $
$ = \sum \frac{[(c+a)(c+b)]^2}{(a+b)^2 + 2ab} $
$ \geq \frac{2}{3}\sum \frac{[(c+a)(c+b)]^2}{(a+b)^2} $
$ \geq 3\sqrt[3]{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}$
$ \geq 3\sqrt[3]{(a+b+c)(ab+bc+ac) - abc } $
Đến đây chắc ngon ^^
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyThang khtn: 06-06-2015 - 15:36
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
Vừa đi thi Midterm về mọi thứ đều nhạt nhẽo ghé qua VMF nhìn thấy bài toán trên nghĩ bụng bảo mình chả nhớ gì về BĐT xong cứ ấn vào loay hoay vs vài biến đổi đơn giản :v
Từ điều kiện ta suy ra $abc \leq \frac{1}{3}$ và $a+b+c \geq \sqrt{3}$
$ A = \sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab} $
$ = \sum \frac{[(c+a)(c+b)]^2}{(a+b)^2 + 2ab} $
$ \geq \frac{2}{3}\sum \frac{[(c+a)(c+b)]^2}{(a+b)^2} $
$ \geq 3\sqrt[3]{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}$
$ \geq 3\sqrt[3]{(a+b+c)(ab+bc+ac) - abc } $
Đến đây chắc ngon ^^
Bước này sai rồi anh ơi
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh