Bài toán:
Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của:
$A=\sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab}$
#1
Đã gửi 06-06-2015 - 12:32
the man
-
- Thành viên
-
- 589 Bài viết
Thiếu úy
- luluhary, congdaoduy9a và tonarinototoro thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#2
Đã gửi 06-06-2015 - 15:35
NguyThang khtn
-
- Hiệp sỹ
-
- 1468 Bài viết
Thượng úy
Bài toán:
Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của:
$A=\sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab}$
Vừa đi thi Midterm về mọi thứ đều nhạt nhẽo ghé qua VMF nhìn thấy bài toán trên nghĩ bụng bảo mình chả nhớ gì về BĐT xong cứ ấn vào loay hoay vs vài biến đổi đơn giản :v
Từ điều kiện ta suy ra $abc \leq \frac{1}{3}$ và $a+b+c \geq \sqrt{3}$
$ A = \sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab} $
$ = \sum \frac{[(c+a)(c+b)]^2}{(a+b)^2 + 2ab} $
$ \geq \frac{2}{3}\sum \frac{[(c+a)(c+b)]^2}{(a+b)^2} $
$ \geq 3\sqrt[3]{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}$
$ \geq 3\sqrt[3]{(a+b+c)(ab+bc+ac) - abc } $
Đến đây chắc ngon ^^
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyThang khtn: 06-06-2015 - 15:36
- the man yêu thích
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#3
Đã gửi 06-06-2015 - 17:55
the man
-
- Thành viên
-
- 589 Bài viết
Thiếu úy
Vừa đi thi Midterm về mọi thứ đều nhạt nhẽo ghé qua VMF nhìn thấy bài toán trên nghĩ bụng bảo mình chả nhớ gì về BĐT xong cứ ấn vào loay hoay vs vài biến đổi đơn giản :v
Từ điều kiện ta suy ra $abc \leq \frac{1}{3}$ và $a+b+c \geq \sqrt{3}$
$ A = \sum \frac{(1+ab)^2}{a^2+b^2+4ab} $
$ = \sum \frac{[(c+a)(c+b)]^2}{(a+b)^2 + 2ab} $
$ \geq \frac{2}{3}\sum \frac{[(c+a)(c+b)]^2}{(a+b)^2} $
$ \geq 3\sqrt[3]{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}$
$ \geq 3\sqrt[3]{(a+b+c)(ab+bc+ac) - abc } $
Đến đây chắc ngon ^^
Bước này sai rồi anh ơi
- Lee LOng yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
