Chủ đề này có 1 trả lời

[rootsvr]

Giải phương trình bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số
${2013^x} + {2015^x} = {2.2014^x}$ và ${3^{{x^2} - 4}} + ({x^2} - 4){3^{x - 2}} - 1 = 0$

[Ispectorgadget]

Giải phương trình bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số
${2013^x} + {2015^x} = {2.2014^x}$ và ${3^{{x^2} - 4}} + ({x^2} - 4){3^{x - 2}} - 1 = 0$

1. 

$$\iff 2015^x-2014^x=2014^x-2013^x$$

Xét hàm số $f(t)=(t+1)^{x_0}-t^{x_0}$ 

Ta có $f(2014)=f(2013)$

Nên $f(t)$ liên tục trên $[2013;2014]$ có đạo hàm trong $(2013;2014)$ nên theo định lý Lagrange tồn tại $c\in (2013;2014)$ sao cho 

$f'(c)=0 \iff x_0[(t+1)^{x_0-1}-t^{x_0-1}]=0 \iff x_0=0 \vee x_0=1$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $0$ và $1$

2. 

Xét hàm số $f(t)=3^t;f'(t)=3^t \ln 3>0$

Do đó $f(t)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$

$\iff 3^{x^2-4}-3^0+(x^2-4)3^{x-2}=0$

Theo định lý Lagrange tồn tại $c$ sao cho $f(x^2-4)-f(0)=f'(c )(x^2-4)$

$\iff f'( c)(x^2-4)+(x^2-4)3^{x-2}=0 \iff (x^2-4)(f'(c )+3^{x-2})=0 \iff x=\pm 2$