Mình là thành viên tham gia VMF từ những năm 2009 và cũng gần như chỉ tham gia làm toán trên VMF nên đối với nó có ít nhiều kỉ niệm. Nick trước đây của mình có đến 1000 post và hầu hết chỉ là post đề và đưa ra lời giải các bài toán của các bạn khác. Tuy nhiên đến bây giờ mình lại thấy rằng 1000 post đấy chẳng có ý nghĩa gì cả với người khác. Diễn đàn là nơi để chúng ta thảo luận, trao đổi và cùng giúp nhau học toán chứ không chỉ là những đề toán và lời giải. Bất chợt một suy nghĩ đến là đã đến lúc viết một cái gì đó chia sẻ về cách mình học toán với các bạn. Đây chỉ đơn thuần là một bài viết cho các bạn một cái nhìn về cách học và quan điểm học toán của một người khác để các bạn mạnh dạn chia sẻ những điều tương tự của bản thân, không phải một cẩm nang cho các bạn hay một sự khoe mẽ nào cả, hoàn toàn là những chia sẻ chân thành.
Trước tiên nói về quan điểm học toán, theo ý kiến cá nhân mình thì có 5 mức độ:
Biết->biết và làm được->biết, làm được và hiểu nữa-> sau khi hiểu thì lại thắc mắc những vấn đề mới, những mở rộng và đưa ra những câu hỏi xa hơn một lời giải->cuối cùng là có thể tự đặt ra, tự giải quyết tất cả những vấn đề, những mở rộng.
Hầu hết chúng ta chỉ dừng ở mức độ 3, thậm chí cái hiểu nó vẫn chưa tường tận. Một vấn đề lớn là đa số chúng ta học toán còn cảm tính. Có rất nhiều người học toán giỏi, họ vẫn đặt ra những vấn đề, những câu hỏi và giải quyết được hết nhưng đa phần xuất phát từ thói quen tư duy, cảm nhận của họ chứ không bắt nguồn từ những suy nghĩ chủ động. Vậy nên mới có chuyện người ta giải thích cho lời giải của mình là nhìn vào điều kiện A, ta có cảm giác là nên đưa vào một lượng B để chứng minh được điều C.
Bạn đừng bao giờ tự ti vì mình không thể đưa ra lời giải trong khi những người khác làm được hay vì nhìn thấy cậu bạn cùng khóa học những thứ trên trời mây mà mình chả hiểu và chả dám học. Và cũng đừng tự hào khi post lên một lời giải với một skill, một bổ đề nào đó mà người hỏi chưa học. Bởi sau khi họ xem lời giải của bạn, học được những thứ đó rồi thì bạn chẳng còn dịp để thể hiện trong lần sau nữa 
Vì thế có những người học trước kiến thức đến 2,3 năm, bài nào cũng biết lời giải, bá đạo một vùng nhưng về sau thua kém những người khác là chuyện thường. Không phải họ không cố gắng như trước mà đơn giản bề sâu tư duy không phải là thứ cần cù và học trước có thể bù đắp được nếu không biết cách.
Điều quan trọng với một bài toán là gì? Không phải là ai giải được mà là ai nhìn ra được nhiều thứ hơn! Học một hiểu mười nó là vậy. Tầm nhìn rất quan trọng nó kết hợp cả tư duy lẫn hiểu biết, đụng vào một bài toán có nhiều cách tiếp cận và hướng đi nhưng người có tầm nhìn sẽ biết cái nào dẫn được ra kết quả. Một bài toán khó là một bài toán mà không phân nhỏ ra được. Nếu một bài toán bạn không giải được nhưng khi phân ra thành các câu a,b,c,d,… thành các bước nhỏ thì lại làm được, điều đấy có nghĩa kĩ năng của bạn hoàn toàn có thể giải bài toán này nhưng tầm nhìn của bạn chưa thể xếp ngang hàng với nó.
Để kết thúc bài chia sẻ này mình sẽ kể cho các bạn câu chuyện về những ngày đầu mình học dãy số, cụ thể là tìm số hạng tổng quát của dãy số. Có thể đối với một số bạn học toán Olympiad thì những thứ này quen thuộc, đơn giản đến tầm thường, nhưng như thầy Thanh đã nói, cái gì mình tự tìm ra cũng thấy “sướng” hơn là đọc được.
Như các bạn biết thì mở đầu học dãy số những dãy cơ bản đầu tiên được giới thiệu là csc và csn có dạng $a_{n+1}=a_n+k$ và $a_{n+1}=k.a_n$ trong đó $k$ là một hằng số.
Điều thú vị đầu tiên mà mình tìm thấy là csc có thể được đưa về csn với hệ số bằng 1. Tức là ta có thể viết $a_{n+1}-k(n+1)=a_n-kn=….=a_0-k.0$.
Giờ nếu thêm một hệ số tự do vào csn hay một hệ số nhân vào csc thì sẽ thế nào ? $a_{n+1}=k.a_n+b$
Với ý tưởng đưa về csn mình mau chóng xử lí được bằng cách thêm một hằng số $c$ vào $a_n$ tức là viết lại thành $a_{n+1}+c=k(a_n+c)$, giải ra $c$ theo $b$ trừ khi $k=1$, nhưng trường hợp này thì nó là csc giải quyết như trên rồi !!
Bây giờ nếu thay hệ số tự do không là hằng số nữa. Chú ý một cái gì đó chạy không hằng ở đây thì sẽ liên quan đến $n$. Đơn giản ta xét dãy dạng $a_{n+1}=k.a_n+a.n+b$, vẫn ý tưởng đưa về csn, ở trên xử lí với hằng số ta thêm vào hằng số thì giờ biểu thức bậc nhất thêm vào $a_n$ dạng bậc nhất là $c.n+d$. Tức là ta sẽ viết lại thành : $a_{n+1}+c(n+1)+d=k.(a_n+cn+d)$, đồng nhất thì được hệ pt 2 ẩn, 2pt, có thể giải theo $a,b$ trừ khi $k=1$. Đây vấn đề đây rồi !
Mày mò một chút, mình thấy trường hợp $k=1$ ở trên giải quyết với hằng số nhưng mình lại thêm bớt bậc nhất (biến đổi đấy là một biến đổi dễ thấy hoàn toàn không chủ động tạo ra tìm kiếm lượng thêm bớt), ý tưởng đến là mình sẽ nâng lượng thêm vào lên một bậc là bậc 2. Và giải quyết được ! Và mình nhận ra là thêm bậc 2 thì bậc 2 sẽ bị khử đi khi $k=1$ nhưng nó sẽ làm hệ số của $n$ lệch đi và không bị khử.
Tiếp tục thay đổi công thức truy hồi ban đầu mình rút ra được là với một dãy $a_{n+1}=k.a_n+P(n)$ trong đó $P(n)$ là đa thức bậc $n$ thì ta giải quyết bằng cách thêm vào $a_n$ một lượng đa thức $Q(n)$ bằng bậc của $P(n)$ và nếu $k=1$ thì $Q(n)$ hơn $P(n)$ một bậc. Sẽ ra các hpt có thể giải được !
Bây giờ nếu đổi $k$ là không là hằng số nữa thì sao. Thay $k$ là một biểu thức bậc nhất theo $n$, $a_{n+1}=(an+b)a_n+P(n)$
Đến cái này thì bí thì phải Tuy nhiên mày mò không ra cái này nhưng trong quá trình đó mình tìm được là nếu đổi bài toán lại thành $(an+b)a_{n+1}=a_n+P(n) (1)$ thì mình lại làm được, bằng cách đặt $f(n+1)=an+b=a(n+1)+b-a$ tức $f(n)=an+b-a$ khi đó ta có
$$f(n+1)a_{n+1}=a_n+P(n) \Rightarrow f(n+1)f(n)…f(1)f(0)a_{n+1}=f(n)f(n-1)…f(1)f(0)a_n+Q(n)$$
Trong đó $Q(n)=P(n)f(n)…f(0)$ là một đa thức theo $n$. Vậy nếu đặt $u_n=f(0)f(1)…f(n)a_n$ thì ra bài toán ở trên rồi. Nhưng xem xét lại thì bậc của $Q(n)$ không tính được Sau đấy mình có thử cho $P(n)$ ở $(1)$ có bậc âm nhưng không đến đâu thì phải. Nói chung đến đây dù chẳng thu được thêm kết quả nào nhưng trong quá trình bế tắc mình cũng tìm ra những ý tưởng mới thú vị. Ví dụ từ ý tưởng nhân thêm nhiều hàm $f$ như trên mình nghĩ ra cách xử lí khác cho dãy $a_{n+1}=k.a_n+b^n$ bằng cách đặt $a_n=b^n.u_n$ sẽ khử được $b^n$. Và có một số ý tưởng khác nhưng quá lâu rồi không nhớ nó như thế nào!
Một ví dụ khác khi gặp bài toán tìm số hạng tổng quát của $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$
Sau khi mày mò một thời gian khá lâu mới nảy ra ý tưởng nghịch đảo 2 vế để đưa dãy này về dãy $\frac{1}{a_n}$.
Từ ý tưởng này mình đi đến xây dựng cách tính cho dãy dạng $a_{n+1}=\frac{a_n+b}{ca_n+d}$ chú ý là hệ số của $a_n$ ở tử luôn có thể đưa về $1$. Ý tưởng nghịch đảo đưa mình đến giải pháp tìm một số $x$ để $a_{n+1}-x=\frac{(1-cx)a_n+b-xd}{ca_n+d}$ phải tạo ra ở tử một dạng $k(a_n-x)$ điều này có nghĩa là $\frac{1-cx}{b-xd}=-x$ đây là pt bậc 2 hoàn toàn tìm ra $x$ đặt lại dãy mới là $u_n=\frac{1}{a_n-x}$ có dạng đã biết.
Có một số vấn đề khác như về phương trình đặc trưng, một số dạng dãy số đặc thù như $a_{n+1}=ka_{n}-a_{n-1}$,… nảy sinh khá nhiều ý tưởng đồng thời giúp mình hiểu khá nhiều về những lí thuyết trong sách nhưng giờ quên nhiều rồi vả lại không có nhiều thời gian hẹn các bạn dịp khác, bài viết nên dừng ở đây thôi*_*
Luôn đặt vấn đề, luôn đặt câu hỏi là điều cần làm tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng giải quyết được. Mỗi mảng không giải quyết được đều ít nhiều cho mình ý tưởng về cái khác và quan trọng mình luôn tự hỏi tại sao lại không làm được, những khúc mắc đấy làm hiểu ra rất nhiều vấn đề. Hi vọng các bạn có một cái nhìn mới về việc học toán qua topic này!
