Chủ đề này có 3 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Tìm hai đa thức $f(x);g(x)$ có hệ số nguyên thoả mãn

$\frac{f(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{g(\sqrt{2}+\sqrt{7}}=\sqrt{2}$

 

[hoctrocuaZel]

Tìm hai đa thức $f(x);g(x)$ có hệ số nguyên thoả mãn

$\frac{f(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{g(\sqrt{2}+\sqrt{7}}=\sqrt{2}$

Dễ thấy $f(x)=x^2+5;g(x)=2x$.

[hoilamchi]

Dễ thấy $f(x)=x^2+5;g(x)=2x$.

Tại sao lại ''Dễ thấy $f(x)=x^2+5;g(x)=2x$'' ạ,em thấy nó không ''dễ thấy'' như anh nói đâu   

P/s:Anh trình bày lời giải chi tiết đi ạ

[hoangmanhquan]

Tìm hai đa thức $f(x);g(x)$ có hệ số nguyên thoả mãn

$\frac{f(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{g(\sqrt{2}+\sqrt{7}}=\sqrt{2}$

Đặt $a=\sqrt{2}+\sqrt{7}$

Tìm đa thức $f(x)$ và $g(x)$ sao cho $f(a)-\sqrt{2}g(a)=0$

Tức là, a là nghiệm của phương trình: $f(x)-\sqrt{2}g(x)=0$

Xét tích: $(x-\sqrt{7}-\sqrt{2})(x-\sqrt{7}+\sqrt{2})=x^2-2\sqrt{7}x+5$

=> a là nghiệm của PT: $x^2-2\sqrt{7}x+5=0$

$=>a^2-2\sqrt{7}a+5=0$

$=> \frac{a^2+5}{2a}=\sqrt{7}$

Mặt khác: $\sqrt{2}=a-\sqrt{7}=a-\frac{a^2+5}{2a}=\frac{a^2-5}{2a}$

Từ đó chọn: $f(x)=x^2-5$

                      $g(x)=2x$

thỏa mãn yêu cầu đề bài.