Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(xf(y))=yf(2x)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Nguyen Giap Phuong Duy

Nguyen Giap Phuong Duy

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hậu Nghĩa, Long An
  • Sở thích:Không có sở thích :'(

Đã gửi 08-06-2015 - 20:51

Tìm tất cả hàm đơn điệu $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(xf(y))=yf(2x), \forall x,y \in \mathbb{R}$


#2 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 22-06-2015 - 18:46

dễ thấy f(1)=2 khi thay y=1 
nếu f(1/2)=t >1 thay y=1/2 thì ta có f(tx)=1/2f(2x) do t>1 nên f(tx)>f(x) suy ra 2f(x)<f(2x) thay x=1/2 ta có f(1)>2f(1/2) suy ra 2>2t suy ra t<1 vô lý

nếu t<1 cũng tương tự ta có f(x) >1/2f(2x)  suy ra 2t>2 vô lý vậy f(1/2)=1 chú ý do f(0)=0 mà f(1)=2 nên f(x) >0 với mọi x>0

đến đây dễ rồi cho y=1/2 ta có 2f(x)=f(2x)
có ngay f(2)=4 cho x=1 thì có f(f(y)=4y 
thay y bới f(y) vào đầu bài được f(x.4y)=2f(y).f(2x)

đặt f(x)=2.g(x) thì có g(xy)=g(x).g(y) hàm cơ bản đơn điệu thì có ngay g(x)=x suy ra f(x)=2x với mọi x thuộc R



#3 tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết

Đã gửi 22-06-2015 - 19:16

dễ thấy f(1)=2 khi thay y=1 
nếu f(1/2)=t >1 thay y=1/2 thì ta có f(tx)=1/2f(2x) do t>1 nên f(tx)>f(x) suy ra 2f(x)<f(2x) thay x=1/2 ta có f(1)>2f(1/2) suy ra 2>2t suy ra t<1 vô lý
nếu t<1 cũng tương tự ta có f(x) >1/2f(2x)  suy ra 2t>2 vô lý vậy f(1/2)=1 chú ý do f(0)=0 mà f(1)=2 nên f(x) >0 với mọi x>0
đến đây dễ rồi cho y=1/2 ta có 2f(x)=f(2x)
có ngay f(2)=4 cho x=1 thì có f(f(y)=4y 
thay y bới f(y) vào đầu bài được f(x.4y)=2f(y).f(2x)
đặt f(x)=2.g(x) thì có g(xy)=g(x).g(y) hàm cơ bản đơn điệu thì có ngay g(x)=x suy ra f(x)=2x với mọi x thuộc R


dễ thấy f(1)=2 khi thay y=1, chỗ đấy mình ko hiểu, bạn giải thích hộ mình với!

#4 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 22-06-2015 - 22:06

cho y=1 thì f(xf(1))=f(2x) do hàm đon điệu nên xf(1)=2x






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh