Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\sum_{k=0}^n (-1)^k{m-1\choose k}{m\choose n-k}=(-1)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {m-1\choose \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$

đtth summation floor function

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3328 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-06-2015 - 11:31

Với $n,m$ là các số nguyên dương, chứng minh đẳng thức sau:

$$\Large \sum_{k=0}^n (-1)^k{m-1\choose k}{m\choose n-k}=(-1)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {m-1\choose \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#2 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-06-2015 - 07:44

Với $n,m$ là các số nguyên dương, chứng minh đẳng thức sau:

$$\Large \sum_{k=0}^n (-1)^k{m-1\choose k}{m\choose n-k}=(-1)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {m-1\choose \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$$

Haha hôm qua em thấy topic của thầy rồi nhưng định bụng để đấy chưa làm để các bạn khác tham gia giải xem nhưng mà thấy thầy nhắc trên stt thôi thì vào hầu chuyện với thầy.

Vốn dĩ về mảng này em chỉ rành có một chiêu, gặp một cao thủ chuyên kĩ thuật biến đổi như thầy Thanh thì dẫu sao dùng một chiêu mà biến hóa đối đáp với thầy vài bài toán kể ra cũng là thành tựu rồi hehe.

Bây giờ ta xét đến vế trái là hệ số tự do của biểu thức:

$$\Large \sum_{k=0}^n (-1)^k{m-1\choose k}\frac{(1+x)^m}{x^{n-k}}$$

Chỗ này hơi khúc mắc là sigma chỉ chạy đến $n$ nó chả ăn nhập gì với cái chỉnh hợp cả, nếu thay $n$ bằng $m-1$ thì đẹp. Chú ý là nếu $k>m-1$ hoặc $k>n$ thì hệ số tự do của ${m-1\choose k}\frac{(1+x)^m}{x^{n-k}}$ dĩ nhiên bằng $0$. Điều này có nghĩa là hoàn toàn thay được $n$ bởi $m-1$ trong dấu sigma kia. Voilà, chìa khóa đây rồi!

Vế trái biểu thức ban đầu bằng hệ số tự do của khai triển:

$$\Large \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k{m-1\choose k}\frac{(1+x)^m}{x^{n-k}}=\frac{(1+x)^m}{x^n}\Large \sum_{k=0}^n (-1)^k{m-1\choose k}x^k=\frac{(1+x)^m(1-x)^{m-1}}{x^n}=\frac{(1+x)(1-x^2)^{m-1}}{x^n}$$

hệ số tự do trong biểu thức này chính là VP.



#3 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3328 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-06-2015 - 16:28

Phải nói rằng, bao nhiêu kỹ thuật phân tách, mẹo mực để sáng tạo ra được một bài toán đã bị một chiêu biến hoá kỳ ảo của em giải quyết ngon lành. Chiêu này em học được ở đâu vậy? Có thời gian mong em viết một bài hướng dẫn cách sử dụng và phạm vi ứng dụng của nó được không?
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#4 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-06-2015 - 18:41

Phải nói rằng, bao nhiêu kỹ thuật phân tách, mẹo mực để sáng tạo ra được một bài toán đã bị một chiêu biến hoá kỳ ảo của em giải quyết ngon lành. Chiêu này em học được ở đâu vậy? Có thời gian mong em viết một bài hướng dẫn cách sử dụng và phạm vi ứng dụng của nó được không?

Ngày xưa có một ông anh khóa trên chỉ cho em cái chiêu này và nhất là ông này đc đi IMO về nên trong lúc ôn có nhiều bài tập tính mấy tổng tổ hợp này, trong quá trình giải thì e cũng tìm ra một số kĩ thuật mới kiểu như thay đổi cận của sigma như bài trên. Thầy và các bạn có thể tham khảo về bài viết về hàm sinh trong tài liệu này (chuyên đề tổ hợp của MS):

 http://diendantoanho...-của-mathscope/

Thực ra nó còn một kĩ thuật nữa mà trong tài liệu có đề cập là giả sử với một tổng tổ hợp có một thành phần cố định là $m$ chẳng hạn (vd như $m$ hoặc $n$ ở bài trên) thì ta gắn thêm cho biểu thức một đại lượng $x^m$ sau đó cho $m$ chạy từ $0$ đến $\infty$ sẽ được một hàm sinh, dùng chuyển dấu sigma sẽ linh hoạt trong biến đổi hơn và có một số kĩ thuật nhỏ khác trong quá trình xử lí.

Thực tế thì ngày xưa lúc đấy chỉ chăm chăm vào giải toán nên kĩ thuật mới nghĩ ra cũng chỉ nhất thời để giải quyết bài toán đang làm chứ không chiêm nghiệm, phát triển nó thêm còn giờ thì không còn đủ hăng say để tiếp tục nữa và cũng quên nhiều rồi. Hehe thầy Thanh nếu có thể thì tham khảo và nghiên cứu đưa ra cái gì mới xem, em giờ k thể miệt mài ngồi tìm tòi đc nữa   :D

Nhận xét một chút về tài liệu trên thì nếu bạn nào mới học hoặc cần học kĩ năng có thể đem nó ra tham khảo. Tuy nhiên khi viết một cái gì đấy thì không nên học tập mấy ông này, đại đa số là đem dịch từ tài liệu tiếng Anh sang và gần như chả có cái gì mới do công sức tìm tòi họ bỏ ra cả. Thậm chí bài viết của em trong đấy nó cũng như vậy, chỉ toàn lời giải cho bài toán và lời giải cho bài toán rất giống phong cách post bài của em từ xưa đến giờ ở diễn đàn. Nó chẳng có một chút ý nghĩa gì cả!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 11-06-2015 - 18:43






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đtth, summation, floor function

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh