Chủ đề này có 2 trả lời

[Watson1504]

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thay đổi thỏa $a+b+c=1$ .Tìm GTNN của $F=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Watson1504: 10-06-2015 - 23:02

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thay đổi thỏa $a+b+c=1$ .Tìm GTNN của $F=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Sử dụng AM-GM cho 

 $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geqslant 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

$\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2\leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$\Rightarrow F\geqslant 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$

Đặt $t=a^2+b^2+c^2\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1-t}{2}\Rightarrow F=14t+\frac{3(1-t)}{2t}=14t+\frac{3}{2t}-\frac{3}{2}=(\frac{27t}{2}+\frac{3}{2t})+\frac{t}{2}-\frac{3}{2}\geqslant 9+\frac{1}{6}-\frac{3}{2}=\frac{23}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi 

[khanghaxuan]

Bài toán chặt hơn cùng điều kiện : $9(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}\geq 6$