Ngày thứ nhất
Bài 1:$p$ là số nguyên tố và $p$.Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $m,n$ với $0<m<n<p$ và $\{\dfrac{sm}{p}\}<\{\dfrac{sn}{p}\}<\dfrac{s}{p}$ khi và chỉ khi $s$ không là ước của $p-1$.
Bài 2:Với một số nguyên dương $k$ cho trước ,tìm(theo $k$) giá trị nhỏ nhất của $N$ sao cho có tồn tại tập gồm $2k+1$ số nguyên dương phân biệt có tính chất:Tổng tất cả các số của tập này lớn hơn $N$ nhưng mỗi tập con $k$ phần tử của nó , tổng các phần tử của nó lại không lớn hơn $\dfrac{N}{2}$.
Bài 3:Với số nguyên $m$ gọi $p(m)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $m$,quy ước $f\in\mathbb{Z}[x]$ sao cho dãy $n$ sao cho tồn tại $a_1,a_2,...,a_k$ thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_k=a_1a_2...a_k=n$.
Bài 5: Một con ếch toán học nhảy dọc theo đường thẳng số.Tại thời điểm ban đầu nó ở vị trí biểu diễn số $1$,và tại mỗi thời điểm nó nhảy theo quy tắc sau:Nếu nó ở vị trí $n$ thì nó có thể nhảy đến vị trí $n+1$ hoặc $n+2^{m_n+1}$,ở đó $2^{m_n}$ là lũy thừa lớn nhất của $2$ chia hết $n$.Chứng minh rằng nếu $k>1$ là số nguyên và $i$ là số tự nhiên thì số nhỏ nhất bước nhảy để con ếch đến được vị trí $k2^i$ lớn hơn số nhỏ nhất bước nhảy để con ếch đến được vị trí $2^i$.
Bài 6:$ABCD$ là tứ giác lồi.$E,F$ là các điểm thuộc $[AD],[BC]$ tương ứng sao cho $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC}$.Tia $FE$ cắt các tia $BA,CD$ tại $S,T$ tương ứng.Chứng minh rằng các đường tròn $(SAE),(SBF),(TCF),(TDE)$ có ít nhất một điểm chung.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:09
