Chủ đề này có 3 trả lời

[khanghaxuan]

Cho 229 học sinh nam và 271 học sinh nữ được chia thành 10 nhóm , mỗi nhóm gồm 50 người được đánh số từ $1\rightarrow 50$ . Người ta muốn chọn ra một nhóm 4 học sinh trong đó số học sinh nữ được chọn là số lẻ và thỏa mãn điều kiện sau : 4 người này được chọn từ 2 nhóm và có 2 cặp học sinh có cùng số thứ tự . Chứng minh rằng số cách chọn các nhóm như thế là số lẻ 

 

[Bui Ba Anh]

Ta gọi mỗi cách chọn $4$ người lấy từ $2$ đội nào đó sao cho có $2$ cặp người đánh cùng số thứ tự là "bộ gay".

$A=(X| X$ là bộ gay $)$.

$B=(X \in A|$ số phần tử nữ trong bộ là chẵn $)$

$C=(X \in A|$ số phần tử nữ trong bộ là lẻ $)$

Ta chứng minh $|C|$ là số lẻ

Với mỗi tập con $M$ của $A$ (tức là $M$ chứa một số bộ nào đó của $A$) ta đặt $f(M)= \sum _{\alpha \in M} g(\alpha)$  với $g(\alpha)$ là số nữ trong bộ $\alpha$ nào đó thuộc $M$

Do $B,C$ không giao nhau và hợp của chúng là $A$ nên $f(A)=f(B)+f( C )$

Do $f(B)$ chẵn nên $f( A )=f( C ) (mod 2)$

Do mỗi bộ thuộc $C$ có một số lẻ các phần tử nữ nên $f( C )=|C| (mod 2)$

Ta cần chứng minh $f( A )=1 (mod 2)$

Với mỗi một nữ thuộc một tập nào đó của $A$, chọn một người bắt cặp với cô ta trong tập đó, ta có $9$ cách. Tiếp theo chọn $2$ người thuộc tập khác đánh cùng số thứ tự tương ứng với $2$ người này, ta có $49$ cách. Vậy thì mỗi nữ sẽ xuất hiện trong $49.9$ bộ thuộc $A$, do có $271$ nữ nên $f(A)=49.2.271=1(mod 2)$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 13-06-2015 - 09:54

[Nguyen Giap Phuong Duy]

 

Với mỗi một nữ thuộc một tập nào đó của $A$, chọn một người bắt cặp với cô ta trong tập đó, ta có $9$ cách. Tiếp theo chọn $2$ người thuộc tập khác đánh cùng số thứ tự tương ứng với $2$ người này, ta có $49$ cách. Vậy thì mỗi nữ sẽ xuất hiện trong $49.9$ bộ thuộc $A$, do có $271$ nữ nên $f(A)=49.2.271=1(mod 2)$ (đpcm)

hình như ngược số $49$ với số $9$ rồi

qua lời giải này mình thấy chia thành 10 nhóm 50 người với 50 nhóm 10 người là giống nhau, chỉ cần số nhóm và số người trong nhóm đều chẵn..

[Bui Ba Anh]

hình như ngược số $49$ với số $9$ rồi

qua lời giải này mình thấy chia thành 10 nhóm 50 người với 50 nhóm 10 người là giống nhau, chỉ cần số nhóm và số người trong nhóm đều chẵn..

Mình hiểu ý bạn rồi

Thực ra hai cách đếm này là giống nhau th

Bạn chọn tương ứng người đội $A->B$ trước rồi chọn người còn lại sau

Mình chọn là $2$ người cùng $1$ đội rồi chiếu xuống các đội khác

Nếu mở rộng thì đúng r, có thể chế đề muôn vàn kiểu, miễn sao luôn lẻ là được

Và giả thiết $4$ người thuộc hai nhóm và đánh cùng số thứ tự rất hay vì giống như tương ứng vậy, dễ đếm hơn