Đến nội dung

Hình ảnh

Đề tuyển sinh Toán ( chuyên ) TP Hà Nội 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

Đề tuyển sinh Toán ( chuyên ) TP Hà Nội 2015-2016

:mellow:  :mellow:

Hình gửi kèm

  • 11427744_910803105645338_6333800595264383012_n.jpg


#2
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

 Bài 3 : Áp dụng $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{9}.\sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$

                          $\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-06-2015 - 18:26


#3
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Ai làm được câu 3/ bài II và câu V thì làm cho mình tham khảo nhé

Hôm nay thi mình không làm được 2 chỗ đó

:(  :(


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#4
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Ai làm được câu 3/ bài II và câu V thì làm cho mình tham khảo nhé

Hôm nay thi mình không làm được 2 chỗ đó

:(  :(

Bài 5 có vẻ khó, lấy máy thử mãi mà ko ra  -_-

Bài II-3 thì chẳng biết xét có ra không nhưng tớ nêu hướng giải thôi nhé :(

 Giả sử $x\geq y\geq z$ thì ta có :

            $nx^2y^2z^2=x^3+y^3+z^3\leq 3x^3 \Rightarrow ny^2z^2\leq 3x\Rightarrow n^2y^4z^4\leq 9x^2$

 Lại có : $y^3+z^3~\vdots ~x^2 \Rightarrow y^3+z^3\geq x^2 \Rightarrow n^2y^4z^4\leq 9(y^3+z^3)\leq 18y^3$

                $\Rightarrow n^2yz^4\leq 18$

 Đến đây xét $n\in [1;4]$ rồi giải PTNN thôi, chẳng biết có ra không vì tớ ghét PTNN lắm  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-06-2015 - 18:54


#5
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 5 có vẻ khó, lấy máy thử mãi mà ko ra  -_-

Đang thử đây :v


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Đề tuyển sinh Toán ( chuyên ) TP Hà Nội 2015-2016

:mellow:  :mellow:

Bài 2.1) Ta có $n^{4}-1=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)$.Ta cần cm $n^{4}-1=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)$ chia hết cho $8$ và $5$ (vì $(8;5)=1$)

Theo gt,$(n,10)=1$ nên $n$ không chia hết cho $2;5$ 

Do đó $n=2k+1(k\epsilon N)$ thay vào biểu thức trên ta được 

$(2k+1-1)(2k+1+1)(4k^{2}+4k+1+1)=8k(k+1)(2k^{2}+2k+1)\vdots 8$

Mà $n^{2}\equiv 1;4(mod 5) \forall n$ (vì $n$ không chia hết cho 5 nên loại trường hợp $n^{2}\equiv 0 (mod 5)$ )

$n^{2}\equiv 4(mod 5)$ thì $n^{2}+1$ chia hết cho 5 ta có đpcm

$n^{2}\equiv 1(mod 5)\rightarrow (n-1)(n+1)\equiv 0(mod 5)\rightarrow \begin{bmatrix} n-1\vdots 5 & \\ n+1\vdots 5 & \end{bmatrix}$

Vậy ta đã có đpcm

Bài 1: 1) ĐKXĐ:$x\geq 8$

$PT\Leftrightarrow x+1=\sqrt{x-8}+3\sqrt{x}\Leftrightarrow x^{2}+2x+1=x-8+9x+6\sqrt{x(x-8)}\Leftrightarrow x^{2}-8x+9=6\sqrt{x^{2}-8x}$

Đặt $\sqrt{x^{2}-8x}=t(t\geq 0)\rightarrow t^{2}+9=6t\Leftrightarrow (t-3)^{2}=0\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow x^{2}-8x=9\Leftrightarrow (x-9)(x+1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=9(TM) & \\ x=-1(KTM) & \end{bmatrix}$

Vậy,............


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-06-2015 - 18:58


#7
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Bài III.

 

Untitled.png



#8
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Ai giải giúp mình ý cuối bài hình với :(



#9
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Ai giải giúp mình ý cuối bài hình với :(

Kẻ QK vuông góc BC. 

Chứng minh $\frac{AB}{QJ}+\frac{AC}{QI}=\frac{BC}{KQ}$


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#10
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Kẻ QK vuông góc BC. 

Chứng minh $\frac{AB}{QJ}+\frac{AC}{QI}=\frac{BC}{KQ}$

Bạn cho mình hỏi là lập các tỉ số kia như thế nào vậy?



#11
macves

macves

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Bài 5 lấy y nguyên từ bài toán này và cho dễ hơn từ việc chứng minh < 10^(-11) thành < 10^(-3)

 

http://www.quora.com... -c-3-0-5-10-11



#12
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3903 Bài viết
Xét các số thực có dạng $x=b\sqrt 2+c\sqrt 3$ trong đó $0\le b\le 35$ và $0\le c\le 28$
Có tất cả $36*29=1044$ số $x$ như trên.
Nếu xét 3 chữ số thập phân của $x$ thì theo Nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 số ($x_1$ và $x_2$) có cùng $3$ chữ số thập phân này
Giả sử là $x_1=b_1\sqrt 2+c_1\sqrt 3$ và $x_2=b_2\sqrt 2+c_2\sqrt 3$
Như vậy thì hiệu của nó $|(b_1-b_2)\sqrt 2 +(c_1-c_2)\sqrt 3|$ sẽ có phần thập phân nhỏ hơn $1/1000$

#13
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Bạn cho mình hỏi là lập các tỉ số kia như thế nào vậy?

Giả sử $AB \leq AC$

để ý rằng $\Delta AJQ\sim \Delta CKQ,\Delta AIQ\sim \Delta BKQ,\Delta BJQ\sim \Delta CIQ$

              và tách $AB=AJ-BJ; AC=AI+IC$


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#14
Rantaro

Rantaro

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Kẻ QK vuông góc BC. 

Chứng minh $\frac{AB}{QJ}+\frac{AC}{QI}=\frac{BC}{KQ}$

Còn ý b chứng minh thẳng hàng như thế nào vậy bác? cám ơn nhiều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rantaro: 13-06-2015 - 10:38


#15
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Còn ý b chứng minh thẳng hàng như thế nào vậy bác? cám ơn nhiều.

C/m : $\widehat{AEB}=\widehat{AQB}=\widehat{ACB}=\widehat{BHM}\Rightarrow AEBH$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EHB}=\widehat{EAB}=\widehat{BAQ}$

  tương tự $\widehat{FHC}=\widehat{CAQ}$

 mà $\widehat{BHC}=\widehat{PHN}$

đến đây bạn dễ dàng có được $\widehat{EHF}=180$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 13-06-2015 - 11:46

"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#16
LoveMath213

LoveMath213

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Bài hình

IUYYIUY_zpsl6scgr7i.png

1) Dễ dàng thấy rằng các tứ giác $ CNHM $, $ BMHP $ nội tiếp để có $ \widehat{NCH}=\widehat{NMH} $ và $\widehat{NMP}=\widehat{HBP}  $, kết hợp với $ \widehat{ACH}=\widehat{ABH} $ (cùng phụ với $ \widehat{BAC} $) ta suy ra $ \widehat{NMH}=\widehat{HMP} $ (1).

Mặt khác tứ giác $ ANMB $ nội tiếp nên $ \widehat{MNH}=\widehat{MAB} $ (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra $ \triangle HMN \backsim \triangle PMA $ dẫn đến $ \dfrac{HM}{MP}=\dfrac{MN}{MA}\Rightarrow MH.MA=MN.MP $.

2) Trước hết dễ thấy $ \triangle ACQ =\triangle ACF $ (c.c.c) nên $ \widehat{AFC}=\widehat{AQC}=\widehat{ABC}=\widehat{CHM} $ dẫn đến tứ giác $ AFCH $ nội tiếp và $ \widehat{ACH}=\widehat{AFH}=90^{\circ}- \widehat{BAC}
 $ (3).
 
Mặt khác do tính chất đối xứng ta có $ AF=AQ=AE $ hay tam giác $ AEF $ cân tại $ A $ để có \[ \widehat{AFE}=\widehat{AEF}=90^{\circ}-\dfrac{1}{2}\widehat{EAF}=90^{\circ}-\dfrac{1}{2}\left( \widehat{FAQ}+\widehat{EAQ}\right)=90^{\circ}-\left( \widehat{CAQ}+\widehat{BAQ}\right)=90^{\circ}- \widehat{BAC}. \]
Do đó ta được $ \widehat{AFH}= \widehat{AFE} $ hay ba điểm $ E, H, F $ thẳng hàng.

3) Trước hết thấy rằng $ AB.QJ=2S_{ABQ}, AC.QI=2S_{AQC} $ và đặt $ P= \dfrac{AB}{QJ}+\dfrac{AC}{QI} $.
Khi đó áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz ta có \[ P= \dfrac{AB^2}{AB.QJ}+\dfrac{AC^2}{AC.QI}= \dfrac{AB^2}{2S_{ABQ}}+\dfrac{AC^2}{2S_{ACQ}}\geqslant \dfrac{(AB+AC)^2}{2(S_{ABQ}+S_{ACQ})}= \dfrac{(AB+AC)^2}{2(S_{ABC}+S_{QBC})},\] đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ QI=QJ $.

Mặt khác nếu gọi $ G $ là điểm chính giữa của cung nhỏ $ BC $ thì luôn có $ S_{QBC}\leqslant S_{GBC} $, do đó \[ P\geqslant \dfrac{(AB+AC)^2}{2(S_{ABC}+S_{GBC})}. \]
Vậy $ P=\left(  \dfrac{AB}{QJ}+\dfrac{AC}{QI}\right)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi Q là điểm chính giữa của cung nhỏ $ BC $.



#17
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Đề tuyển sinh Toán ( chuyên ) TP Hà Nội 2015-2016

:mellow:  :mellow:

Bài số học :$n(n^{4}-1)=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)+5n(n+1)(n-1)\vdots 10$

Mà $(n;10)=1$=> $n^{4}-1\vdots 10\Rightarrow n^{4}-1\vdots 5$            (1)

Mà $(n;10)=1$ nên $n$ lẻ. Xét $n=2k+1$ ($n\in Z$) dễ cm $n^{4}-1\vdots 8$          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $n^{4}-1\vdots 40$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 14-06-2015 - 11:56


#18
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

http://hoidap.nguyen...p-ha-noi-2015/ 

Các bạn xem đáp án tại đây  :mellow:  :mellow: 



#19
Tran Thanh Truong

Tran Thanh Truong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

C/m : $\widehat{AEB}=\widehat{AQB}=\widehat{ACB}=\widehat{BHM}\Rightarrow AEBH$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EHB}=\widehat{EAB}=\widehat{BAQ}$

  tương tự $\widehat{FHC}=\widehat{CAQ}$

 mà $\widehat{BHC}=\widehat{PHN}$

đến đây bạn dễ dàng có được $\widehat{EHF}=180$

Câu 2 bài II làm thế nào vậy anh ?


                             TOÁN HỌC  LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG

                     

*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*                      





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh