Đề tuyển sinh Toán ( chuyên ) TP Hà Nội 2015-2016
Bài 3 : Áp dụng $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{9}.\sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-06-2015 - 18:26
Ai làm được câu 3/ bài II và câu V thì làm cho mình tham khảo nhé
Hôm nay thi mình không làm được 2 chỗ đó
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Ai làm được câu 3/ bài II và câu V thì làm cho mình tham khảo nhé
Hôm nay thi mình không làm được 2 chỗ đó
Bài 5 có vẻ khó, lấy máy thử mãi mà ko ra
Bài II-3 thì chẳng biết xét có ra không nhưng tớ nêu hướng giải thôi nhé
Giả sử $x\geq y\geq z$ thì ta có :
$nx^2y^2z^2=x^3+y^3+z^3\leq 3x^3 \Rightarrow ny^2z^2\leq 3x\Rightarrow n^2y^4z^4\leq 9x^2$
Lại có : $y^3+z^3~\vdots ~x^2 \Rightarrow y^3+z^3\geq x^2 \Rightarrow n^2y^4z^4\leq 9(y^3+z^3)\leq 18y^3$
$\Rightarrow n^2yz^4\leq 18$
Đến đây xét $n\in [1;4]$ rồi giải PTNN thôi, chẳng biết có ra không vì tớ ghét PTNN lắm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-06-2015 - 18:54
Bài 5 có vẻ khó, lấy máy thử mãi mà ko ra
Đang thử đây :v
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Đề tuyển sinh Toán ( chuyên ) TP Hà Nội 2015-2016
Bài 2.1) Ta có $n^{4}-1=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)$.Ta cần cm $n^{4}-1=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)$ chia hết cho $8$ và $5$ (vì $(8;5)=1$)
Theo gt,$(n,10)=1$ nên $n$ không chia hết cho $2;5$
Do đó $n=2k+1(k\epsilon N)$ thay vào biểu thức trên ta được
$(2k+1-1)(2k+1+1)(4k^{2}+4k+1+1)=8k(k+1)(2k^{2}+2k+1)\vdots 8$
Mà $n^{2}\equiv 1;4(mod 5) \forall n$ (vì $n$ không chia hết cho 5 nên loại trường hợp $n^{2}\equiv 0 (mod 5)$ )
$n^{2}\equiv 4(mod 5)$ thì $n^{2}+1$ chia hết cho 5 ta có đpcm
$n^{2}\equiv 1(mod 5)\rightarrow (n-1)(n+1)\equiv 0(mod 5)\rightarrow \begin{bmatrix} n-1\vdots 5 & \\ n+1\vdots 5 & \end{bmatrix}$
Vậy ta đã có đpcm
Bài 1: 1) ĐKXĐ:$x\geq 8$
$PT\Leftrightarrow x+1=\sqrt{x-8}+3\sqrt{x}\Leftrightarrow x^{2}+2x+1=x-8+9x+6\sqrt{x(x-8)}\Leftrightarrow x^{2}-8x+9=6\sqrt{x^{2}-8x}$
Đặt $\sqrt{x^{2}-8x}=t(t\geq 0)\rightarrow t^{2}+9=6t\Leftrightarrow (t-3)^{2}=0\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow x^{2}-8x=9\Leftrightarrow (x-9)(x+1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=9(TM) & \\ x=-1(KTM) & \end{bmatrix}$
Vậy,............
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-06-2015 - 18:58
Ai giải giúp mình ý cuối bài hình với
Kẻ QK vuông góc BC.
Chứng minh $\frac{AB}{QJ}+\frac{AC}{QI}=\frac{BC}{KQ}$
Bạn cho mình hỏi là lập các tỉ số kia như thế nào vậy?
Bài 5 lấy y nguyên từ bài toán này và cho dễ hơn từ việc chứng minh < 10^(-11) thành < 10^(-3)
http://www.quora.com... -c-3-0-5-10-11
Bạn cho mình hỏi là lập các tỉ số kia như thế nào vậy?
Giả sử $AB \leq AC$
để ý rằng $\Delta AJQ\sim \Delta CKQ,\Delta AIQ\sim \Delta BKQ,\Delta BJQ\sim \Delta CIQ$
và tách $AB=AJ-BJ; AC=AI+IC$
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Kẻ QK vuông góc BC.
Chứng minh $\frac{AB}{QJ}+\frac{AC}{QI}=\frac{BC}{KQ}$
Còn ý b chứng minh thẳng hàng như thế nào vậy bác? cám ơn nhiều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rantaro: 13-06-2015 - 10:38
Còn ý b chứng minh thẳng hàng như thế nào vậy bác? cám ơn nhiều.
C/m : $\widehat{AEB}=\widehat{AQB}=\widehat{ACB}=\widehat{BHM}\Rightarrow AEBH$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EHB}=\widehat{EAB}=\widehat{BAQ}$
tương tự $\widehat{FHC}=\widehat{CAQ}$
mà $\widehat{BHC}=\widehat{PHN}$
đến đây bạn dễ dàng có được $\widehat{EHF}=180$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 13-06-2015 - 11:46
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Bài hình
1) Dễ dàng thấy rằng các tứ giác $ CNHM $, $ BMHP $ nội tiếp để có $ \widehat{NCH}=\widehat{NMH} $ và $\widehat{NMP}=\widehat{HBP} $, kết hợp với $ \widehat{ACH}=\widehat{ABH} $ (cùng phụ với $ \widehat{BAC} $) ta suy ra $ \widehat{NMH}=\widehat{HMP} $ (1).
Mặt khác tứ giác $ ANMB $ nội tiếp nên $ \widehat{MNH}=\widehat{MAB} $ (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra $ \triangle HMN \backsim \triangle PMA $ dẫn đến $ \dfrac{HM}{MP}=\dfrac{MN}{MA}\Rightarrow MH.MA=MN.MP $.
2) Trước hết dễ thấy $ \triangle ACQ =\triangle ACF $ (c.c.c) nên $ \widehat{AFC}=\widehat{AQC}=\widehat{ABC}=\widehat{CHM} $ dẫn đến tứ giác $ AFCH $ nội tiếp và $ \widehat{ACH}=\widehat{AFH}=90^{\circ}- \widehat{BAC}
$ (3).
Mặt khác do tính chất đối xứng ta có $ AF=AQ=AE $ hay tam giác $ AEF $ cân tại $ A $ để có \[ \widehat{AFE}=\widehat{AEF}=90^{\circ}-\dfrac{1}{2}\widehat{EAF}=90^{\circ}-\dfrac{1}{2}\left( \widehat{FAQ}+\widehat{EAQ}\right)=90^{\circ}-\left( \widehat{CAQ}+\widehat{BAQ}\right)=90^{\circ}- \widehat{BAC}. \]
Do đó ta được $ \widehat{AFH}= \widehat{AFE} $ hay ba điểm $ E, H, F $ thẳng hàng.
3) Trước hết thấy rằng $ AB.QJ=2S_{ABQ}, AC.QI=2S_{AQC} $ và đặt $ P= \dfrac{AB}{QJ}+\dfrac{AC}{QI} $.
Khi đó áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz ta có \[ P= \dfrac{AB^2}{AB.QJ}+\dfrac{AC^2}{AC.QI}= \dfrac{AB^2}{2S_{ABQ}}+\dfrac{AC^2}{2S_{ACQ}}\geqslant \dfrac{(AB+AC)^2}{2(S_{ABQ}+S_{ACQ})}= \dfrac{(AB+AC)^2}{2(S_{ABC}+S_{QBC})},\] đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ QI=QJ $.
Mặt khác nếu gọi $ G $ là điểm chính giữa của cung nhỏ $ BC $ thì luôn có $ S_{QBC}\leqslant S_{GBC} $, do đó \[ P\geqslant \dfrac{(AB+AC)^2}{2(S_{ABC}+S_{GBC})}. \]
Vậy $ P=\left( \dfrac{AB}{QJ}+\dfrac{AC}{QI}\right)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi Q là điểm chính giữa của cung nhỏ $ BC $.
Đề tuyển sinh Toán ( chuyên ) TP Hà Nội 2015-2016
Bài số học :$n(n^{4}-1)=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)+5n(n+1)(n-1)\vdots 10$
Mà $(n;10)=1$=> $n^{4}-1\vdots 10\Rightarrow n^{4}-1\vdots 5$ (1)
Mà $(n;10)=1$ nên $n$ lẻ. Xét $n=2k+1$ ($n\in Z$) dễ cm $n^{4}-1\vdots 8$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $n^{4}-1\vdots 40$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 14-06-2015 - 11:56
C/m : $\widehat{AEB}=\widehat{AQB}=\widehat{ACB}=\widehat{BHM}\Rightarrow AEBH$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EHB}=\widehat{EAB}=\widehat{BAQ}$
tương tự $\widehat{FHC}=\widehat{CAQ}$
mà $\widehat{BHC}=\widehat{PHN}$
đến đây bạn dễ dàng có được $\widehat{EHF}=180$
Câu 2 bài II làm thế nào vậy anh ?
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh