Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC, PQ cắt BC tại N. Chứng minh rằng $NH\perp AM$
Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC, PQ cắt BC tại N. Chứng minh rằng $NH\perp AM$
Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC, PQ cắt BC tại N. Chứng minh rằng $NH\perp AM$
$AH\cap BC\equiv D$
Bài toán tương đương với $HA^2-HM^2=NA^2-NM^2$
Thật vậy: $HA^2-HM^2=(AD-HD)^2-(HD^2+DM^2)=AD^2-2AD.HD-DM^2$
$=AN^2-DN^2-2AD.HD-DM^2=AN^2-(MN^2-2DM.DN+2AD.HD)$
Ta đi chứng minh $DM.DN=AD.DH$
Có $AD.DH=AD(AD-AH)=AD^2-AQ.AB=AD^2-AB(AB-QB)=BD.BC-BD^2=BD.DC$
$=(BM-DM)(CM+DM)=\frac{BC^2}{4}-DM^2$
Và $(NDBC)=-1$ nên $MB^2=\frac{BC^2}{4}=DM.MN=MD(DN+MD)\rightarrow DM.DN=\frac{BC^2}{4}-MD^2$
Do đó $HA^2-HM^2=NA^2-NM^2$ nên $HN\perp AM$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 13-06-2015 - 18:00
cách khác
vẽ (APQ) cắt (ABC) tại T chứng minh đễ đàng AT , PQ, BC
đồng qui rồi suy ra H là trực tâm tam giác ANM
để chứng minh AT , PQ , BC đồng qui bằng cách giả sử NA cắt (ABC) tại V rồi dùng phương tích suy ra AVPQ nội tiếp nên V trùng T
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh