Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : $(x+1)^{4} - (x-1)^4 =8y^2$
$(x+1)^{4} - (x-1)^4 =8y^2$
#1
Đã gửi 14-06-2015 - 16:04
#2
Đã gửi 14-06-2015 - 16:34
Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : $(x+1)^{4} - (x-1)^4 =8y^2$
<=>$8x(x^2+1)=8y^2$
<=>$x(x^2+1)=y^2$(*)
nhận thấy x và $x^2+1$ nên (*)
=>x là scp đặt $x=k^2(k\epsilon \mathbb{Z})$
khi đó (*) <=>$k^2(k^4+1)=y^2$
=> k^4+1 là scp
đặt $k^4+1=t^2$
<=>$(t-k^2)(t+k^2)=1$
xét ra dc k=0=>x=0=>y=0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 20-06-2015 - 14:35
Trần Quốc Anh
#3
Đã gửi 14-06-2015 - 16:44
$$Pt\Leftrightarrow x^3+x=y^2$$Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : $(x+1)^{4} - (x-1)^4 =8y^2$
TH1:x=0$\Rightarrow y=0$
TH2:vì $x(x^2+1)=y^2 \Rightarrow x>0$
Mỗi số p nguyên tố ,p|x thì $v_{p}VT=v_{p}x=v_{p}VP=chẵn$ nên x là số chính phương.
Đặt $x=k^2,k\in \mathbb{N},k\geq 1$
Ta có $(k^3+1)^2\geq y^2\geq(k^3)^2$(VL)
Vậy (x,y)=(0,0).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 14-06-2015 - 16:45
- anh1999 và Chris yang thích
#5
Đã gửi 15-06-2015 - 07:10
x có nguyên tố đâu
ai cần nguyên tố nếu $y^2\vdots x$ mà x ko là scp thì $y^2\vdots x^2$mà
Trần Quốc Anh
#7
Đã gửi 15-06-2015 - 08:33
không nguyên tố thì chả có cái định lí nào như thế cả
lấy VD:$6^{2} $ chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho $12^{2}$
sr mình quên mất lâu rùi ko nhớ ^^
Trần Quốc Anh
#8
Đã gửi 15-06-2015 - 09:42
<=>$8x(x^2+1)=8y^2$
<=>$x(x^2+1)=y^2$(*)
TH1 x ko là số chính phương
khi đó ta có
$y^2\vdots x=>y^2\vdots x^2$
từ (*) => $x^2+1\vdots x$=>$1\vdots x$
do x nguyên nên x=+-1
thay vào loại do y ko nguyên
TH2 x là scp đặt $x=k^2(k\epsilon \mathbb{Z})$
khi đó (*) <=>$k^2(k^4+1)=y^2$
=> k^4+1 là scp
đặt $k^4+1=t^2$
<=>$(t-k^2)(t+k^2)=1$
xét ra dc k=0=>x=0=>y=0
À, thêm khúc này nữa là ngon . Đặt $(x^{2}+1,x)=d(d\epsilon \mathbb{Z})$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+1\vdots d\\ x^{2}\vdots d \end{matrix}\right.$$\Rightarrow 1\vdots d$. Từ đó áp dụng, tích 2 số nguyên là 1 số chính phương mà 2 số đó nguyên tố cùng nhau nên mỗi số đều là số chính phương.
- anh1999, ZzThuyDuongzZ và kunsomeone thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh