Đến nội dung

Hình ảnh

$(x+1)^{4} - (x-1)^4 =8y^2$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
bnprovip

bnprovip

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :  $(x+1)^{4} - (x-1)^4 =8y^2$



#2
anh1999

anh1999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 355 Bài viết

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :  $(x+1)^{4} - (x-1)^4 =8y^2$

<=>$8x(x^2+1)=8y^2$

<=>$x(x^2+1)=y^2$(*)

nhận thấy x và $x^2+1$ nên (*)

=>x là scp đặt $x=k^2(k\epsilon \mathbb{Z})$

khi đó (*) <=>$k^2(k^4+1)=y^2$

=> k^4+1 là scp

đặt $k^4+1=t^2$

<=>$(t-k^2)(t+k^2)=1$

xét ra dc k=0=>x=0=>y=0


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 20-06-2015 - 14:35

Trần Quốc Anh


#3
loigiailanhlung

loigiailanhlung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : $(x+1)^{4} - (x-1)^4 =8y^2$

$$Pt\Leftrightarrow x^3+x=y^2$$
TH1:x=0$\Rightarrow y=0$
TH2:vì $x(x^2+1)=y^2 \Rightarrow x>0$
Mỗi số p nguyên tố ,p|x thì $v_{p}VT=v_{p}x=v_{p}VP=chẵn$ nên x là số chính phương.
Đặt $x=k^2,k\in \mathbb{N},k\geq 1$
Ta có $(k^3+1)^2\geq y^2\geq(k^3)^2$(VL)
Vậy (x,y)=(0,0).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 14-06-2015 - 16:45


#4
loigiailanhlung

loigiailanhlung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

TH1 x ko là số chính phương
khi đó ta có 
$y^2\vdots x=>y^2\vdots x^2$

x có nguyên tố đâu

#5
anh1999

anh1999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 355 Bài viết

x có nguyên tố đâu

ai cần nguyên tố nếu $y^2\vdots x$ mà x ko là scp thì $y^2\vdots x^2$mà


Trần Quốc Anh


#6
tonarinototoro

tonarinototoro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

ai cần nguyên tố nếu $y^2\vdots x$ mà x ko là scp thì $y^2\vdots x^2$mà

không nguyên tố thì chả có cái định lí nào như thế cả -_-

lấy VD:$6^{2} $ chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho $12^{2}$



#7
anh1999

anh1999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 355 Bài viết

không nguyên tố thì chả có cái định lí nào như thế cả -_-

lấy VD:$6^{2} $ chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho $12^{2}$

sr mình quên mất lâu rùi ko nhớ ^^


Trần Quốc Anh


#8
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

<=>$8x(x^2+1)=8y^2$

<=>$x(x^2+1)=y^2$(*)

TH1 x ko là số chính phương

khi đó ta có 

$y^2\vdots x=>y^2\vdots x^2$

từ (*) => $x^2+1\vdots x$=>$1\vdots x$

do x nguyên nên x=+-1

thay vào loại do y ko nguyên 

TH2 x là scp đặt $x=k^2(k\epsilon \mathbb{Z})$

khi đó (*) <=>$k^2(k^4+1)=y^2$

=> k^4+1 là scp

đặt $k^4+1=t^2$

<=>$(t-k^2)(t+k^2)=1$

xét ra dc k=0=>x=0=>y=0

À, thêm khúc này nữa là ngon  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes: . Đặt $(x^{2}+1,x)=d(d\epsilon \mathbb{Z})$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+1\vdots d\\ x^{2}\vdots d \end{matrix}\right.$$\Rightarrow 1\vdots d$. Từ đó áp dụng, tích 2 số nguyên là 1 số chính phương mà 2 số đó nguyên tố cùng nhau nên mỗi số đều là số chính phương. 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh