Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 socnho

socnho

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 15-06-2015 - 10:31

Cho 100 số tự nhiên a1; a2; ....; a100 thỏa mãn: $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19$. CMR: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau.



#2 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3328 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-06-2015 - 14:41

Gợi ý:

Gợi ý:

Gợi ý:


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#3 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2015 - 01:31

Gợi ý:

Gợi ý:

Gợi ý:

Haha dĩ nhiên là tìm được chứ thầy, vd lấy 90 số 25 và 10 số 100 thì có tổng bằng 19 rồi :v

Nhưng mà em hiểu ý của thầy, bài toán này câu hỏi đặt ra chỉ là vì mục đích che giấu cái bđt thầy đã nêu ra để đánh đố người khác. Cái này phù hợp vs thi cử :D

Tuy nhiên ta thử đặt ra những vấn đề mới đi vào trọng tâm xem thế nào.

Ví dụ thế này, tìm tất cả số tự nhiên $n$ có thể biểu diễn được dưới dạng

$$\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{100}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Hoặc là tìm tất cả các số tự nhiên $n$ mà tồn tại $k$ tự nhiên để

$$n=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Khó hơn một chút thì là với mỗi số nguyên dương $t$, hỏi có những số tự nhiên $n$ nào mà thỏa mãn tồn tại $k$ để 

$$\frac{n}{t}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Khó hơn chút nữa thì tìm những số tự nhiên $n$ mà tồn tại $k$ để:

$$\frac{n}{k}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Trong mỗi trường hợp tồn tại trên ta thử tìm số $k$ nhỏ nhất để có thể biểu diễn được xem thế nào.

Hoặc ta cố định $k$, cho trước hai số nguyên dương $k$ và $t$ thì những $n$ nào thỏa mãn:

$$\frac{n}{t}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên không nhất thiết phân biệt.

 

Haha nếu thầy thấy bài trên có vẻ không thực tế thì giải quyết những vấn đề em nêu trên nhé :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 16-06-2015 - 01:33


#4 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3328 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2015 - 14:00

Cảm ơn Karl Heinrich Marx đã nêu ra vấn đề, nhờ đó mà tôi đã làm sáng tỏ được cách tìm kiếm các bộ nguyên như vậy.

Với $A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_n}}=k$

Ta thấy rằng $0<k\le n$

Như vậy có thể viết $n=pk+q$ trong đó $p=\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$

Nếu $q=0$ thì ta chọn $n$ số bằng nhau và bằng $a_1=a_2=...=a_n=p^2$

Nếu $q\ne 0$ thì ta chọn $n-(p+q)$ số bằng nhau có giá trị là $p^2$ cùng với $(p+q)$ số bằng nhau có giá trị là $(p+q)^2$

Thì tổng sẽ là $A=\frac{n-(p+q)}{p}+\frac{p+q}{p+q}=\frac{n-q}{p}=k$

 

Và như vậy chỉ cần $k\le n$ thì ta luôn tìm được đẳng thức!


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#5 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Thành viên
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 16-06-2015 - 14:42

Cảm ơn Karl Heinrich Marx đã nêu ra vấn đề, nhờ đó mà tôi đã làm sáng tỏ được cách tìm kiếm các bộ nguyên như vậy.

Với $A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_n}}=k$

Ta thấy rằng $0<k\le n$

Như vậy có thể viết $n=pk+q$ trong đó $p=\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$

Nếu $q=0$ thì ta chọn $n$ số bằng nhau và bằng $a_1=a_2=...=a_n=p^2$

Nếu $q\ne 0$ thì ta chọn $n-(p+q)$ số bằng nhau có giá trị là $p^2$ cùng với $(p+q)$ số bằng nhau có giá trị là $(p+q)^2$

Thì tổng sẽ là $A=\frac{n-(p+q)}{p}+\frac{p+q}{p+q}=\frac{n-q}{p}=k$

 

Và như vậy chỉ cần $k\le n$ thì ta luôn tìm được đẳng thức!

 

Haha dĩ nhiên là tìm được chứ thầy, vd lấy 90 số 25 và 10 số 100 thì có tổng bằng 19 rồi :v

Nhưng mà em hiểu ý của thầy, bài toán này câu hỏi đặt ra chỉ là vì mục đích che giấu cái bđt thầy đã nêu ra để đánh đố người khác. Cái này phù hợp vs thi cử :D

Tuy nhiên ta thử đặt ra những vấn đề mới đi vào trọng tâm xem thế nào.

Ví dụ thế này, tìm tất cả số tự nhiên $n$ có thể biểu diễn được dưới dạng

$$\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{100}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Hoặc là tìm tất cả các số tự nhiên $n$ mà tồn tại $k$ tự nhiên để

$$n=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Khó hơn một chút thì là với mỗi số nguyên dương $t$, hỏi có những số tự nhiên $n$ nào mà thỏa mãn tồn tại $k$ để 

$$\frac{n}{t}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Khó hơn chút nữa thì tìm những số tự nhiên $n$ mà tồn tại $k$ để:

$$\frac{n}{k}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên phân biệt.

Trong mỗi trường hợp tồn tại trên ta thử tìm số $k$ nhỏ nhất để có thể biểu diễn được xem thế nào.

Hoặc ta cố định $k$, cho trước hai số nguyên dương $k$ và $t$ thì những $n$ nào thỏa mãn:

$$\frac{n}{t}=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_k}}$$

trong đó $a_1,a_2,..,a_{k}$ là các số tự nhiên không nhất thiết phân biệt.

 

Haha nếu thầy thấy bài trên có vẻ không thực tế thì giải quyết những vấn đề em nêu trên nhé :D

http://diendantoanho...rta-2015geq-89/

Cách giải của bài này có cần xét dấu $"="$ không thầy  :mellow:  :mellow:



#6 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3328 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2015 - 15:37

http://diendantoanho...rta-2015geq-89/

Cách giải của bài này có cần xét dấu $"="$ không thầy  :mellow:  :mellow:

Bài này với bài em làm không có gì khác biệt, chỉ cần phản chứng là đủ! Có chăng chỉ là sự cẩn thận của người ra đề (khi cho điều kiện là $\ge 89$)

Dấu đẳng thức, chẳng qua chỉ là câu hỏi thắc mắc đối với giả thiết của bài toán. Sau này khi học về logic em sẽ thấy rằng, mệnh đề:

$P\Rightarrow Q$

chỉ sai nếu $Q$ sai mà $P$ đúng, các trường hợp còn lại đều cho kết quả đúng!

Kiểu như: Khi giả thiết là sai thì kết luận kiểu gì cũng đúng!

Việc "phản chứng" là chứng minh mệnh đề $\overline Q\Rightarrow \overline P$

 

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline P&Q&P\Rightarrow Q \\ \hline 0&0&1 \\ \hline 0&1&1\\ \hline 1&1&1\\ \hline 1&0&0 \\ \hline\end{array}\qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{array}{|c|c|c|} \hline \overline P&\overline Q&\overline Q\Rightarrow \overline P \\ \hline 1&1&1 \\ \hline 1&0&1\\ \hline 0&0&1\\ \hline 0&1&0 \\ \hline\end{array}$

 

Ta thấy rằng để chứng minh $P\Rightarrow Q$ là đúng $(=1)$ thì khi kết luận $Q$ đúng đều cho kết quả đúng, chỉ còn phải chứng minh rằng khi $Q$ sai thì suy ra $P$ phải sai.

 

Khi gặp một bài toán (đề sai) mà chứng minh được giả thiết sai, thì kết luận đâu còn ý nghĩa gì nữa!

Kiểu như: "Vì Trái Đất hình lập phương nên hình tròn có 4 góc vuông"

Hay:

Bài toán: Cho số thực $x$ thỏa mãn điều kiện $x^2+1=0$. Chứng minh rằng $x$ là số hữu tỉ.


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh