Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR $\exists a,b,c:c^2\mid a^2+b^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 15-06-2015 - 15:30

$\boxed{\text{Problem}}$

Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}^*$ thì giữa $n^2$ và $(n+1)^2$ luôn tồn tại ba số tự nhiên phân biệt $a,b,c$ sao cho

$c^2\mid a^2+b^2$

 


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#2 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 15-06-2015 - 20:17

Với $n=1$ thì chọn được $1,2,3$ thỏa

Với $n \geq 2$, chọn được $c=n^2+1, b=n^2+2,a=n^2+n+1$, dễ thấy các số phân biệt và:

$a^2+b^2=(n^2+1)(2n^2+2n+5)=c.(2n^2+2n+5)$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 15-06-2015 - 20:17

NgọaLong

#3 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 15-06-2015 - 20:22

Với $n=1$ thì chọn được $1,2,3$ thỏa

Với $n \geq 2$, chọn được $c=n^2+1, b=n^2+2,a=n^2+n+1$, dễ thấy các số phân biệt và:

$a^2+b^2=(n^2+1)(2n^2+2n+5)=$$c$$.(2n^2+2n+5)$ (đpcm)

$c$$^2$ mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 15-06-2015 - 20:24

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#4 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 15-06-2015 - 20:27

$c$$^2$ mà

Thực ra t nghi đề ảo, nên nghĩ là $c$ th

Vì với $n=2$ thì có số nào đâu


NgọaLong

#5 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 15-06-2015 - 20:37

Có thể chứng minh không tồn tại các bộ $a,b,c$ thỏa đề 

Đặt $a=n^2+x,b=n^2+y,c=n^2+z$ với $ 1 \leq x,y,z \leq 2n, x,y,z \in N$ và $x,y,z$ phân biệt

Ta có $a^2+b^2=(n^2+x)^2+(n^2+y)^2=2n^4+2n^2(x+y)+x^2+y^2=(n^2+z)(2n^2+2x+2y-2z)+x^2+y^2-2z(x+y-z)$

để thỏa đề thì $x^2+y^2-2z(x+y-z)=0 <=> x^2+y^2+2z^2=2z(x+y)$

Nhưng theo cô si thì $x^2+y^2+2z^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} +2z^2 \geq 2z(x+y)$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi $x=y$ là điều kiện cần (vô lí) (đpcm)

p/s: có thể m ghi thiếu đề, t nghĩ là không tồn tại


NgọaLong

#6 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 15-06-2015 - 20:40

Có thể chứng minh không tồn tại các bộ $a,b,c$ thỏa đề 

Đặt $a=n^2+x,b=n^2+y,c=n^2+z$ với $ 1 \leq x,y,z \leq 2n, x,y,z \in N$ và $x,y,z$ phân biệt

Ta có $a^2+b^2=(n^2+x)^2+(n^2+y)^2=2n^4+2n^2(x+y)+x^2+y^2=$$(n^2+z)$$(2n^2+2x+2y-2z)+x^2+y^2-2z(x+y-z)$

để thỏa đề thì $x^2+y^2-2z(x+y-z)=0 <=> x^2+y^2+2z^2=2z(x+y)$

Nhưng theo cô si thì $x^2+y^2+2z^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} +2z^2 \geq 2z(x+y)$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi $x=y$ là điều kiện cần (vô lí) (đpcm)

p/s: có thể m ghi thiếu đề, t nghĩ là không tồn tại

nếu theo lập luận trên thì dù không là $c^2$ thì biết đâu $n^2+z\mid x^2+y^2-2z(x+y-z)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 15-06-2015 - 20:55

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#7 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 15-06-2015 - 20:45

nếu theo lập luận trên thì dù không là $c^2$ thì biết đâu $n^2+z\mid x^2+y^2-2z(x+y-z)$

còn đề thì cho $n$ tự nhiên thôi,thử với $n=3$ thử

$n^2+z\mid x^2+y^2-2z(x+y-z)$ Chú ý là ở đây $n$ là biến số chạy từ $n$, còn $x^2+y^2-2z(x+y-z)$ là các số cố định rồi (đang tìm xem $x,y,z$ bằng bao nhiêu), nên để luôn thỏa với mọi $n$ thì dư bằng $0$


NgọaLong

#8 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 15-06-2015 - 20:47

Thực ra t nghi đề ảo, nên nghĩ là $c$ th

Vì với $n=2$ thì có số nào đâu

$n=2$ thì từ $4\rightarrow 9:5^2\mid 6^2+8^2$

@Anh: để làm lại thử, mà t thử $n=3$ không đúng

@nhungvienkimcuong:với $n=3$ thì $9\rightarrow 16:15^2\mid 9^2+12^2$

m sai ở chỗ với $n$ chạy thì dẫn đến $x,y,z$ cũng chạy chứ không có cố định

@Anh: tính cả biên nữa hả

@nhungvienkimcuong:chắc vậy,làm dễ hơn trước đã rồi sau này xem có cần cả biên không

@Anh: Rồi xong $n=4$ k có r, t nghĩ nên mở rộng khoảng đó ra chứ kề nhau quá


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 16-06-2015 - 14:42

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#9 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2015 - 05:16

$\boxed{\text{Problem}}$

Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}^*$ thì giữa $n^2$ và $(n+1)^2$ luôn tồn tại ba số tự nhiên phân biệt $a,b,c$ sao cho

$c^2\mid a^2+b^2$

Bài này a cũng có một chút ý tưởng nhưng cũng loay hoay một lúc k ra, post lên để các e thử tiếp tục xem sao (dĩ nhiên là khi không ra thì vẫn hơi nghi ngờ tính đúng đắn của bài toán). Ta thử giải quyết với $n$ vô cùng lớn trước xem sao, đầu tiên ta thấy xét $\frac{a^2+b^2}{c^2}$ trong đó $n^2 \le a,b,c, \le (n+1)^2$ có thể suy ra là:

$$ \frac{2n^2}{(n+1)^2} \le \frac{a^2+b^2}{c^2} \le \frac{2(n+1)^2}{n^2}$$

Cho $n$ vô cùng lớn thì $\frac{a^2+b^2}{c^2} \rightarrow 2$.

Vậy với $n$ đủ lớn mà tồn tại $3$ số thỏa mãn đề bài thì ta phải có $a^2+b^2=2c^2 \Rightarrow (a-c)(a+c)=(c-b)(c+b)$

Đặt $(a-c)=k(c-b)$ khi đó $k \in Q$ và suy ra $b+c=k(a+c)$. Từ $2$ pt này có thể giải $a,b$ theo $k$ và $c$. Có vẻ như sẽ ra $a= \frac{1-k^2+2k}{k^2+1}.c,b=\frac{k^2-1+2k}{k^2+1}.c$. Đặt $k=\frac{u}{v}$ trong đó $u,v$ là các số nguyên, ta biểu diễn được $\frac{a}{c},\frac{b}{c}$ theo các phân thức với $u,v$. Bây giờ phải chứng minh tồn tại $u,v,$ để từ các phân thức đó nằm trong đoạn $(n^2,(n+1)^2$. Tuy nhiên chỗ này a thử cho một vài giá trị $u,v$ theo $n$ thì không ra. Chú ý một chút là vì giới hạn của $\frac{a}{c},\frac{b}{c}$ đều bằng $1$ khi $n$ về vô cùng nên khi biểu diễn $u,v$ theo $n$ nên chọn giá trị sao cho giới hạn của $\frac{u}{v}$ khi $n$ về vô cùng là $1$. Nếu e có lời giải bài này thì a rất muốn xem vì theo anh thì hình như nó không đúng với $n$ đủ lớn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 18-06-2015 - 05:20


#10 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 18-06-2015 - 07:30

 Nếu e có lời giải bài này thì a rất muốn xem vì theo anh thì hình như nó không đúng với $n$ đủ lớn.

em không có lời giải của bài toán cũng như không dám chắc về tính đúng đắn của nó

theo em thì cần một điều kiện gì đó của $n$ đủ chặt để bài toán đúng ,mong anh và mọi người góp ý


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#11 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 18-06-2015 - 14:08

em không có lời giải của bài toán cũng như không dám chắc về tính đúng đắn của nó

theo em thì cần một điều kiện gì đó của $n$ đủ chặt để bài toán đúng ,mong anh và mọi người góp ý

 

Bài này a cũng có một chút ý tưởng nhưng cũng loay hoay một lúc k ra, post lên để các e thử tiếp tục xem sao (dĩ nhiên là khi không ra thì vẫn hơi nghi ngờ tính đúng đắn của bài toán). 

Nếu xét trong đoạn $\begin{bmatrix} n^2,(n+1)^2 \end{bmatrix}$ như bài này thì kiểm tra số trực tiếp với $n=4$ không có bộ ba nào nên khẳng định được không đúng

Nếu cần điều kiện của $n$ nên mở rộng đoạn đó ra

+ Với đoạn $\begin{bmatrix} n^2,(n+2)^2 \end{bmatrix}$ chưa kiểm chứng( có thể vẫn sai)

+Với đoạn $\begin{bmatrix} n^2,(n+3)^2 \end{bmatrix}$ Tới đây thì giải quyết được

Cho $a=m^2+2m-1, b=m^2+6m+7, c=m^2+4m+5$, ta có:

$(m^2+2m-1)^2+(m^2+6m+7)^2=2.(m^2+4m+5)^2$ (đpcm)


NgọaLong

#12 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2015 - 18:37

em không có lời giải của bài toán cũng như không dám chắc về tính đúng đắn của nó

theo em thì cần một điều kiện gì đó của $n$ đủ chặt để bài toán đúng ,mong anh và mọi người góp ý

Khi thay $k= \frac{u}{v}$ thì ta có $\frac{a}{c}=\frac{u^2-v^2+2uv}{u^2+v^2}=1+\frac{2v(u-v)}{u^2+v^2},\frac{b}{c}=\frac{v^2-u^2+2uv}{u^2+v^2}=1+\frac{2u(v-u)}{u^2+v^2}$

Giờ nếu thay $u=n+2,v=n$ thì sẽ ra $\frac{a}{c}=\frac{n^2+4n+2}{n^2+2n+2},\frac{b}{c}=\frac{n^2-2}{n^2+2n+2}$

Trong ví dụ này nếu lấy đoạn $n^2;(n+2)^2$ cũng không được nhưng nếu lấy $n^2-2;(n+2)^2-2$ thì lại hợp lí. Tuy nhiên lời giải ta lại sử dụng đúng 2 mút thì nó lại mất hay vì thường người ta sẽ thử 2 mút trước ra ngay đáp án thì họ chả quan tâm phần làm sao tìm ra 2 mút này cả.

Có một cách tìm cận không chặt lắm nhưng mà tự nhiên hơn là thay số như ở trên.

Ta hình dung là $c$ sẽ nằm giữa 2 số $a,b$ và $|\frac{2v(u-v)}{u^2+v^2}|,|\frac{2u(v-u)}{u^2+v^2}|$ là các khảng cách từ $a,b$ đến $c$. Khoảng cách này càng bé càng tốt mà $u,v$ không thể bằng nhau nên ta cho $v=u+1$. 

Thay vào thì ta được $\frac{a}{c}=\frac{2v^2+4v+1}{2v^2+2v+1}, \frac{b}{c}=\frac{2v^2-1}{2v^2+2v+1}$

Chọn một cận là $n^2$ cận còn lại là $n^2+t$, trong 2 phân thức trên số ở mẫu nằm giữa 2 số ở tử nên chỉ cần chặn 2 số ở tử thôi.

tức là $2v^2-1 \ge n^2, 2(v+1)^2 \le n^2+t+1$

Tìm $t$ để thỏa mãn tồn tại số nguyên $v$. Cái này các e thử tiếp tục xem.

Việc đặt ra vấn đề chưa giải quyết đc và trao đổi với nhau như thế này là điều cần thiết khi tham gia diễn đàn, các e cố gắng phát huy nhé!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh