Câu 1: (5đ)
a) Rút gọn biểu thức: $P= \frac{1}{3}\left ( \sqrt[3]{2}+ 1\right )\left ( \sqrt{12\sqrt[3]{2}-15} +2\sqrt{3\sqrt[3]{4}-3}\right )$
b) Chứng tỏ $\sqrt[3]{\sqrt{10}+\sqrt{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$ là nghiệm của phương trình $x^3+6x-\sqrt{8}=0$.
Câu 2: (5đ) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a) $x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2015$
b) $\left\{\begin{matrix} x+y-\frac{1}{x}-\frac{1}{y} =2 & & \\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=8 & & & \end{matrix}\right.$
Câu 3: (2,5đ) Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq 3$.
a) CMR: $xy+y\leq 4$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= \frac{2}{3xy}+\frac{6}{y+4}$
Câu 4: (3,5đ) Cho đường tròn $\left ( O;R \right )$. Gọi B,C là hai điểm bất kì trên đường tròn $\left ( O \right )$ sao cho BC=R; A là một điểm trên cung lớn BC $\left ( A\neq B, A\neq C) \right )$; D,E là các điểm trên dây cung AC sao cho $AC=2AE=\frac{3}{2}AD$. Đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt AB tại F.
a) CMR: $\Delta ACF$ cân.
b) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (2,5đ) Cho $\Delta ABC$ cố định. Gọi E là một điểm di động trên đường tròn tâm B, bán kính BC. Dựng hình thoi BCDE. Từ D vẽ DF vuông góc AB ($F\epsilon AB$). Từ E vẽ Eg vuông góc AC $(G\epsilon AC)$. Các đường thẳng DF và EG cắt nhau tại K. Khi hình thoi BCDE thay đổi, điểm K chạy trên đường nào?
Câu 6: (1,5đ) Cho phương trình $x^3+2015x^2+2015x+m=0$ ( m nguyên), có $x_{0}$ là nghiệm hữu tỷ. Chứng tỏ rằng $x_{0}$ là số nguyên và m chia hết cho $x_{0}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Angel of Han Han: 15-06-2015 - 19:59
