Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm nghiệm nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 15-06-2015 - 22:23

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

(x+y2)(x2+y)=(y-x)2

 


TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#2 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-06-2015 - 05:39

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

(x+y2)(x2+y)=(y-x)2

Trước tiên đặt $d>0$ là UCLN của $x$ và $y$ trong đó $x=da,y=db \Rightarrow (a,b)=1$ như vậy pt trên tương đương với:

$$(a+db^2)(b+da^2)=(a-b)^2 (*)$$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $|a| \ge |b|$, từ biểu thức trên ta suy ra:

$$4a^2 \ge (a-b)^2 \ge da^2+b \ge 0 \Rightarrow d \le 5$$

Nếu mà $d=5$ thì những đẳng thức trên xảy ra đồng thời và ta có $a=-b$

Khi đó thay vào $(*)$ ta được:

$$(5b-1)(5b+1)=4 \Rightarrow 5b^2=1$$

loại nghiệm này.

Vậy $1 \le d \le 4$

Ngoài ra ta biến đổi biểu thức ban đầu theo một cách khác:

$(x+y^2)(y+x^2)=(y-x)^2 \Leftrightarrow xy(xy+2)=(1-x-y)(x^2-xy+y^2) \Leftrightarrow ab(d^2ab+2)=(1-da-db)(a^2-ab+b^2)$

Vì $a,b$ nguyên tố cùng nhau nên biểu thức $a^2-ab+b^2$ luôn là số lẻ. Do đó nếu $d$ chẵn thì bên trái chia hết cho 2 mà bên phải thì không. Vậy $d$ phải lẻ.

Ngoài ra cũng từ biến đổi cuối cùng ở trên ta suy ra được $(a^2-ab+b^2)|d^2ab+2$.

Nếu $d=1$ thì ta suy ra $ab+2 \ge a^2-ab+b^2 \Rightarrow 2 \ge (a-b)^2$

Mà $a$ không thể bằng $b$ nên ta suy ra $|a-b|=1$

Đến đây thay vào giải khá đơn giản ra $a=1,b=0$ và ngược lại.

Bây giờ nếu $d=3$ cũng từ biểu thức trên ta suy ra $ab|(1-da-db) \Rightarrow a|1-3b$

Đặt $|1-3b|=k|a|$ thì ta chặn được $1 \le k \le 2$

Đến đây thì còn vài trường hợp thay vào và giải ra đáp án, mình không rõ là có cách nào để loại bớt trường hợp nữa không nhưng đến đây chắc khả thi rồi.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh