Chủ đề này có 2 trả lời

[Taj Staravarta]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}$

biết $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $2c+b=abc$

[vda2000]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}$

biết $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $2c+b=abc$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:

$\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{a+b-c}\geq\frac{8}{2b}=\frac{4}{b}$

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}$

$\frac{3}{a+c-b}+\frac{3}{a+b-c}\geq\frac{12}{2a}=\frac{6}{a}$

Do đó, $S\geq\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=\frac{2b+4c}{bc}+\frac{6}{a}=\frac{2abc}{bc}+\frac{6}{a}=2a+\frac{6}{a}\geq 2\sqrt{2a.\frac{6}{a}}=4\sqrt{3}$

(Vì $2c+b=abc$)

[Hoang Nhat Tuan]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}$

biết $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $2c+b=abc$

Từ giả thiết suy ra được: $\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=a$ (1)

Ta có: $S=(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b})+2(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c})+3(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c})$

$\geq \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}$

Kết hợp với (1) ta có: $S\geq 2a+\frac{6}{a}\geq 4\sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=\sqrt{3}$