Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$P(n,m)=\sum_{k=1}^n \prod_{r=0}^m(k+2r)$

summation karl heinrich marx

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3329 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-06-2015 - 17:07

Với mỗi số nguyên dương $n,m$ Xét tổng:

$$P(n,m)=\sum_{k=1}^n \prod_{r=0}^m(k+2r)$$

________________

$1)\quad$ Chứng minh rằng $P(n,m)$ là một đa thức bậc $m+2$ của $n$

$2)\quad$ Chứng minh rằng $P(0,m)=P(-1,m)=0$

Nói cách khác

$\qquad$ và $P(-2m,m)=P(-2m-1,m)=0$ nếu $m$ chẵn.

Nói cách khác

$3)\quad$ Biết rằng: $2(m+2) P(n,m)=\prod_{k=0}^m (2k+1)+A(n,m)+A(n-1,m)$

$\qquad$ Tìm $A(n,m)$.

Nói cách khác


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#2 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-07-2015 - 21:19

Với mỗi số nguyên dương $n,m$ Xét tổng:

$$P(n,m)=\sum_{k=1}^n \prod_{r=0}^m(k+2r)$$

________________

$1)\quad$ Chứng minh rằng $P(n,m)$ là một đa thức bậc $m+2$ của $n$

$2)\quad$ Chứng minh rằng $P(0,m)=P(-1,m)=0$

Nói cách khác

$\qquad$ và $P(-2m,m)=P(-2m-1,m)=0$ nếu $m$ chẵn.

Nói cách khác

$3)\quad$ Biết rằng: $2(m+2) P(n,m)=\prod_{k=0}^m (2k+1)+A(n,m)+A(n-1,m)$

$\qquad$ Tìm $A(n,m)$.

Nói cách khác

Đặt $A(k,m)= \prod_{r=0}^{m+1}(k+2r)$, như vậy $P(n,m)=\sum_{k=1}^nA(k,m-1)$, khi đó ta có:

$$P(n,m+1)=\sum_{k=1}^nA(k,m)=\sum_{k=1}^nA(k,m-1)(k+2m+2)$$

Mặt khác ta lại có $A(k-2,m)=(k-2)A(k,m-1)$ với $k \ge 3$. Do đó ta có thể viết lại $P(n,m+1)=\sum_{k=3}^n(k-2)A(k,m-1)+A(n-1,m)+A(n,m)$

Ta suy ra:

$$\sum_{k=1}^nA(k,m-1)(k+2m+2)=\sum_{k=3}^n(k-2)A(k,m-1)+A(n-1,m)+A(n,m)$$

$$ \Rightarrow (2m+4)\sum_{k=1}^nA(k,m-1)=A(n-1,m)+A(n,m)+A(1,m-1)$$

$$ \Rightarrow (2m+4)P(n,m)=A(n-1,m)+A(n,m)+A(1,m-1)$$

Đến đây nếu $n$ chẵn thì có thể rút gọn $A(n,m)$ được còn nếu $n$ lẻ thì em thử mà chưa làm được.



#3 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3329 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-07-2015 - 23:32

Đặt $A(k,m)= \prod_{r=0}^{m+1}(k+2r)$, như vậy $P(n,m)=\sum_{k=1}^nA(k,m-1)$, khi đó ta có:
...
$$ \Rightarrow (2m+4)P(n,m)=A(n-1,m)+A(n,m)+A(1,m-1)$$
Đến đây nếu $n$ chẵn thì có thể rút gọn $A(n,m)$ được còn nếu $n$ lẻ thì em thử mà chưa làm được.

Đến đây rồi còn rút gọn chi nữa? Viết lại cho rõ hơn:
\begin{equation}\label{(*)}\sum_{k=1}^n\prod_{r=0}^m(k+2r)=P(n,m)=\frac{1}{2m+4}\left(\prod_{k=0}^m(2k+1)+\prod_{k=0}^{m+1}(n+2k)+\prod_{k=0}^{m+1}(n+2k-1)\right)\end{equation}
Từ \eqref{(*)} thấy ngay:
1) $P(n,m)$ là đa thức bậc $m+2$ của $n$
2)
$P(0,m)=\frac{1}{2m+4}\Big(1.3...(2m+1)+0.2.4...(2m+2)+(-1).1.3...(2m+1)\Big)=0$
$P(-1,m)=\frac{1}{2m+4}\Big(1.3...(2m+1)+(-1).1.3...(2m+1)+(-2).0.2...(2m)\Big)=0$
$\begin{eqnarray*}P(-2m,m)&=&\frac{1}{2m+4}\Big(1.3...(2m+1)+(-2m).(-2m+2)...0.2+(-2m-1).(-2m+1)...(-1).1\Big)\\ &=&\frac{1}{2m+4}\Big(1.3...(2m+1)+(-1)^{m+1}.1.3...(2m+1)\Big)\\ &=&(0 \text{ nếu $m$ chẵn.})\end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*}P(-2m-1,m)&=&\frac{1}{2m+4}\Big(1.3...(2m+1)+(-2m-1).(-2m+1)...(-1).1+(-2m-2).(2m)...0\Big)\\ &=&\frac{1}{2m+4}\Big(1.3...(2m+1)+(-1)^{m+1}.1.3...(2m+1)\Big)\\ &=&(0 \text{ nếu $m$ chẵn.})\end{eqnarray*}$

Nói chung là giải quyết được phần 3) là ra hết :D
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#4 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-07-2015 - 01:33

Không biết ngoài mấy nghiệm thầy nêu có một cách nào để moi ra thêm nghiệm của nó không nhỉ?

Ta thử biến đổi một chút phần $A(n,m)$. Ta có $P(n+1,m)=P(n,m)+A(n+1,m-1)=\frac{1}{2(m+2)}(A(n+1,m)+A(n,m)+A(1,m))$

Như vậy suy ra $P(n+1,m)-P(n,m)=A(n+1,m-1)=\frac{1}{2(m+2)}(A(n+1,m)-A(n-1,m))$

Lại đặt $B(n,m)=\frac{A(n,m)}{2^m.(m+2)!}$

Ta có thể suy ra $B(n+1,m-1)=B(n+1,m)-B(n-1,m)$

Với dãy truy hồi 2 biến thế này không biết có làm được bằng hàm sinh không? Kiểu giống như công thức Pascal.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: summation, karl heinrich marx

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh