Với mỗi số nguyên dương $n,m$ Xét tổng:
$$P(n,m)=\sum_{k=1}^n \prod_{r=0}^m(k+2r)$$
________________
$1)\quad$ Chứng minh rằng $P(n,m)$ là một đa thức bậc $m+2$ của $n$
$2)\quad$ Chứng minh rằng $P(0,m)=P(-1,m)=0$
$\qquad$ và $P(-2m,m)=P(-2m-1,m)=0$ nếu $m$ chẵn.
$3)\quad$ Biết rằng: $2(m+2) P(n,m)=\prod_{k=0}^m (2k+1)+A(n,m)+A(n-1,m)$
$\qquad$ Tìm $A(n,m)$.
Đặt $A(k,m)= \prod_{r=0}^{m+1}(k+2r)$, như vậy $P(n,m)=\sum_{k=1}^nA(k,m-1)$, khi đó ta có:
$$P(n,m+1)=\sum_{k=1}^nA(k,m)=\sum_{k=1}^nA(k,m-1)(k+2m+2)$$
Mặt khác ta lại có $A(k-2,m)=(k-2)A(k,m-1)$ với $k \ge 3$. Do đó ta có thể viết lại $P(n,m+1)=\sum_{k=3}^n(k-2)A(k,m-1)+A(n-1,m)+A(n,m)$
Ta suy ra:
$$\sum_{k=1}^nA(k,m-1)(k+2m+2)=\sum_{k=3}^n(k-2)A(k,m-1)+A(n-1,m)+A(n,m)$$
$$ \Rightarrow (2m+4)\sum_{k=1}^nA(k,m-1)=A(n-1,m)+A(n,m)+A(1,m-1)$$
$$ \Rightarrow (2m+4)P(n,m)=A(n-1,m)+A(n,m)+A(1,m-1)$$
Đến đây nếu $n$ chẵn thì có thể rút gọn $A(n,m)$ được còn nếu $n$ lẻ thì em thử mà chưa làm được.