Chủ đề này có 2 trả lời

[Taj Staravarta]

Với các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$

Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

[Hoang Nhat Tuan]

Với các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$

Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Ta có: $\frac{a}{(ab+a+1)^2}=\frac{1}{a(b+1+bc)^2}=\frac{bc}{(1+b+bc)^2}$

$\frac{c}{(ca+c+1)^2}=\frac{1}{c(a+1+ab)^2}=\frac{b}{a(1+b+bc)^2}$

Do đó:$\sum \frac{a}{(a+1+ab)^2}=\frac{bc+b+\frac{b}{a}}{(bc+b+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

$<=>(a+b+c)(c+1+bc)\geq (c\sqrt{b}+\sqrt{b}+\sqrt{ac})^2$

(BĐT Bunhiacowski )

[Phuong Thu Quoc]

Với các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$

Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Theo Bunhia có $(\sum a).(\sum \frac{a}{\left ( ab+a+1 \right )^{2}})\geq \left ( \sum \frac{a}{ab+a+1} \right )^{2}$

Theo kết quả quen thuộc nếu $abc=1\Rightarrow \sum \frac{a}{ab+a+1}=1$

Do đó $\left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{a}{\left ( ab+a+1 \right )^{2}} \right )\geq 1\Rightarrow \sum \frac{a}{\left ( ab+a+1 \right )^{2}}\geq \frac{1}{\sum a}$