Cho $a,b,c\geq 1$
Chứng minh $\sum \frac{1}{1+a}\geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{\sqrt[4]{ca^3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-06-2015 - 08:33
Cho $a,b,c\geq 1$
Chứng minh $\sum \frac{1}{1+a}\geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{\sqrt[4]{ca^3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-06-2015 - 08:33
Ta có: $\frac{1}{4}(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})\geq \frac{1}{2}.\frac{1}{1+\sqrt{ab}}$
Do đó: $\frac{1}{4}(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+b}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+b})\geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$
2 cái kia tương tự rồi cộng lại => ĐPCM
Chú ý ở đây sử dụng BĐT $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ với $x,y\geq 1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh