Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
VuHieu

VuHieu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


---- Đừng giới hạn thách thức mà hãy thách thức giới hạn đó ----

:luoi:  Web: wWw.VũHiếu2508.vn  :luoi: FB: vuhieu258 :luoi:    


#2
anh1999

anh1999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 355 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

ta có 

$\left\{\begin{matrix} a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+c^8+c^8\geq 8a^3b^3c^2\\a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+c^8+c^8+c^8\geq 8a^3b^2c^3 \\a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+c^8+c^8+c^8\geq 8a^2b^3c^3 \end{matrix}\right.$

=>$a^8+b^8+c^8\geq a^2b^3c^3+a^3b^3c^2+a^3b^2c^3$

=> dpcm


Trần Quốc Anh


#3
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

BĐT tương đương:

$\sum \frac{a^5}{b^3c^3}\geq \sum \frac{1}{a}$

Lại có:$\sum (\frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{b^5}{a^3c^3})\geq 2\sum \frac{ab}{c^3}=>\sum \frac{a^5}{b^3c^3}\geq \sum \frac{ab}{c^3}$

(BĐT AM-GM)

Tiếp tục sử dụng AM-GM ta được:

$\sum \frac{ab}{c^3}\geq \sum \frac{b}{ac}\geq \sum \frac{1}{a}$

=> ĐPCM 


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#4
anh1999

anh1999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 355 Bài viết

BĐT tương đương:

$\sum \frac{a^5}{b^3c^3}\geq \sum \frac{1}{a}$

Lại có:$\sum (\frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{b^5}{a^3c^3})\geq 2\sum \frac{ab}{c^3}=>\sum \frac{a^5}{b^3c^3}\geq \sum \frac{ab}{c^3}$

(BĐT AM-GM)

Tiếp tục sử dụng AM-GM ta được:

$\sum \frac{ab}{c^3}\geq \sum \frac{b}{ac}\geq \sum \frac{1}{a}$

=> ĐPCM 

mình nghĩ nên bỏ cái này đi vì ko có vẫn đúng mà

$\frac{ab}{c^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{3}{c}$


Trần Quốc Anh


#5
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chuẩn hóa $abc=1$, ta cần chứng minh: $\sum a^8 \geq \sum ab$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $4 \sum a^8=\sum (a^8+a^8+b^8+c^8) \geq \sum 4a^4b^2c^2=\sum 4a^2 \geq 4 \sum ab$

hay $\sum a^8 \geq \sum ab$ (đpcm)


NgọaLong

#6
HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

ta chứng minh: $a^{8}+b^{8}+c^{8}\geq a^{2}b^{2}c^{2}(ab+bc+ca)$

áp dụng AM-GM ta có $\sum a^{8}\geq \sum a^{4}b^{4}\geq \sum a^{2}b^{4}c^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}b^{2}c^{2}(ab+bc+ca)$


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#7
marcoreus101

marcoreus101

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết

Áp dụng liên tiếp $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ ta có $\sum a^8\geq \sum a^4b^4\geq \sum a^2b^4c^2\geq \sum a^2b^3c^3$

Thay vào $gt$ ta có ngay $Q.E.D$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh