Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
#1
Đã gửi 18-06-2015 - 15:50
---- Đừng giới hạn thách thức mà hãy thách thức giới hạn đó ----
Web: wWw.VũHiếu2508.vn FB: vuhieu258
#2
Đã gửi 18-06-2015 - 15:59
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
ta có
$\left\{\begin{matrix} a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+c^8+c^8\geq 8a^3b^3c^2\\a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+c^8+c^8+c^8\geq 8a^3b^2c^3 \\a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+c^8+c^8+c^8\geq 8a^2b^3c^3 \end{matrix}\right.$
=>$a^8+b^8+c^8\geq a^2b^3c^3+a^3b^3c^2+a^3b^2c^3$
=> dpcm
- nguyenhongsonk612, Huy Thong, hoctrocuaHolmes và 1 người khác yêu thích
Trần Quốc Anh
#3
Đã gửi 18-06-2015 - 15:59
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
BĐT tương đương:
$\sum \frac{a^5}{b^3c^3}\geq \sum \frac{1}{a}$
Lại có:$\sum (\frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{b^5}{a^3c^3})\geq 2\sum \frac{ab}{c^3}=>\sum \frac{a^5}{b^3c^3}\geq \sum \frac{ab}{c^3}$
(BĐT AM-GM)
Tiếp tục sử dụng AM-GM ta được:
$\sum \frac{ab}{c^3}\geq \sum \frac{b}{ac}\geq \sum \frac{1}{a}$
=> ĐPCM
- anh1999 và nguyenhongsonk612 thích
#4
Đã gửi 18-06-2015 - 16:02
BĐT tương đương:
$\sum \frac{a^5}{b^3c^3}\geq \sum \frac{1}{a}$
Lại có:$\sum (\frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{b^5}{a^3c^3})\geq 2\sum \frac{ab}{c^3}=>\sum \frac{a^5}{b^3c^3}\geq \sum \frac{ab}{c^3}$
(BĐT AM-GM)
Tiếp tục sử dụng AM-GM ta được:
$\sum \frac{ab}{c^3}\geq \sum \frac{b}{ac}\geq \sum \frac{1}{a}$
=> ĐPCM
mình nghĩ nên bỏ cái này đi vì ko có vẫn đúng mà
$\frac{ab}{c^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{3}{c}$
- Hoang Nhat Tuan yêu thích
Trần Quốc Anh
#5
Đã gửi 18-06-2015 - 16:06
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chuẩn hóa $abc=1$, ta cần chứng minh: $\sum a^8 \geq \sum ab$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $4 \sum a^8=\sum (a^8+a^8+b^8+c^8) \geq \sum 4a^4b^2c^2=\sum 4a^2 \geq 4 \sum ab$
hay $\sum a^8 \geq \sum ab$ (đpcm)
- rainbow99 yêu thích
#6
Đã gửi 18-06-2015 - 16:42
ta chứng minh: $a^{8}+b^{8}+c^{8}\geq a^{2}b^{2}c^{2}(ab+bc+ca)$
áp dụng AM-GM ta có $\sum a^{8}\geq \sum a^{4}b^{4}\geq \sum a^{2}b^{4}c^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}b^{2}c^{2}(ab+bc+ca)$
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
#7
Đã gửi 18-06-2015 - 19:07
Áp dụng liên tiếp $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ ta có $\sum a^8\geq \sum a^4b^4\geq \sum a^2b^4c^2\geq \sum a^2b^3c^3$
Thay vào $gt$ ta có ngay $Q.E.D$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh