Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$n^2+4f(n)=\left [ f(f(n)) \right ]^2,\;\forall n\in \mathbb{Z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 18-06-2015 - 22:15

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thoả :

$$n^2+4f(n)=\left [ f(f(n)) \right ]^2,\;\forall n\in \mathbb{Z}$$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#2 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2015 - 23:30

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thoả :

$$n^2+4f(n)=\left [ f(f(n)) \right ]^2,\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Ta có:

$4f(n)=(f(f(n))-n)(f(f(n))+n)\quad (1)$

Nếu $f(f(n))-n$ lẻ thì $f(f(n))+n$ cũng lẻ, suy ra vô lý!

Do đó $f(f(n))-n=2t\quad (2)$ với $t$ là số nguyên nào đó cần tìm

Từ $(1)$ suy ra $f(n)=t(t+n)\quad (3) \Rightarrow f(0)=t^2$

Trong $(2)$ cho $n=0$ ta có: $f(t^2)=2t$

Trong $(3)$ cho $n=-t$ ta có $f(-t)=0$

Bây giờ trong $(2)$ cho $n=-t$ thì được $t^2+t=2t$ Suy ra $t=0$ hoặc $t=1$

- Nếu $t=0$ thì theo $(3)$ sẽ có $f(n)=0$ và từ điều kiện của đề bài suy ra $n^2=0\;\forall n$ vô lý!

Suy ra $t=1$ Theo $(3)$ thì có $f(n)=n+1$ thử lại thỏa

Vậy duy nhất $f(n)=n+1$ là hàm cần tìm.


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 19-06-2015 - 03:10

Ta có:

$4f(n)=(f(f(n))-n)(f(f(n))+n)\quad (1)$

Nếu $f(f(n))-n$ lẻ thì $f(f(n))+n$ cũng lẻ, suy ra vô lý!

Do đó $f(f(n))-n=2t\quad (2)$ với $t$ là số nguyên nào đó cần tìm

Từ $(1)$ suy ra $f(n)=t(t+n)\quad (3) \Rightarrow f(0)=t^2$

Trong $(2)$ cho $n=0$ ta có: $f(t^2)=2t$

Trong $(3)$ cho $n=-t$ ta có $f(-t)=0$

Bây giờ trong $(2)$ cho $n=-t$ thì được $t^2+t=2t$ Suy ra $t=0$ hoặc $t=1$

- Nếu $t=0$ thì theo $(3)$ sẽ có $f(n)=0$ và từ điều kiện của đề bài suy ra $n^2=0\;\forall n$ vô lý!

Suy ra $t=1$ Theo $(3)$ thì có $f(n)=n+1$ thử lại thỏa

Vậy duy nhất $f(n)=n+1$ là hàm cần tìm.

Thầy ơi, chỗ này chính xác phải là $f(f(n))-n=2t(n)$, vì ta không biết hiệu $f(f(n))-n$ có là hằng số hay không.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-06-2015 - 08:26

Cảm ơn perfectstrong đã chỉ ra lỗi sai (ngớ ngẩn) của tôi. Vậy bạn nào giúp tôi sửa lại lời giải sao cho đúng, được không?
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2106 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 19-06-2015 - 16:57

Để "bần đạo" (múa rìu qua mắt thợ) thử xem nào !

 

(Bắt chước thầy Thanh)

$4f(n)=\left ( f(f(n))+n \right )\left ( f(f(n))-n \right )$ (1)

Nếu $f\left ( f(n) \right )-n$ lẻ thì $f\left ( f(n) \right )+n$ cũng lẻ ---> vế phải lẻ (vô lý)

Vậy phải có $f(f(n))-n=2\ t(n)$ (2) (với $t(n)\in \mathbb{Z}$)

(1),(2) $\Rightarrow f(n)=t(n).\left ( t(n)+n \right )$ (3)

Từ (3), cho $n=0\Rightarrow f(0)=\left [ t(0) \right ]^2$ 

Từ (3), cho $n=-t(n)\Rightarrow f(-t(n))=0$

Từ (2), cho $n=-t(n)\Rightarrow f(0)+t(n)=2\ t(-t(n))$ hay $\left [ t(0) \right ]^2+t(n)=2\ t(-t(n))$ (4)

Xét 2 trường hợp :

$a)$ $t(n)$ là hàm không đổi theo $n$ (hàm hằng : $t(n)=K$, $K\in \mathbb{Z}$)

     (4) $\Rightarrow K^2+K=2K\Rightarrow K=0$ ; $K=1$

     + $K=0\Rightarrow f(n)=0$.Thử lại không thỏa mãn ---> loại.

     + $K=1\Rightarrow f(n)=n+1$.Thử lại thỏa mãn.

$b)$ $t(n)$ là hàm biến đổi theo $n$ :

     

(Mai làm tiếp)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-06-2015 - 20:32

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 20-06-2015 - 17:04

Thành thật xin lỗi mọi người, lời giải bị sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-06-2015 - 22:10

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2106 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 20-06-2015 - 19:09

 

Mặt khác, nếu tồn tại $k$ sao cho $t(k)=-1$ thì thay $n$ bởi $k$ trong (3): \[f\left( { - t\left( k \right)} \right) = 0 = f\left( 1 \right):\text{mâu thuẫn}\]

Lời giải của bạn rất hay.Tuy nhiên đoạn trên chưa thuyết phục lắm (nếu không tồn tại số $k$ sao cho $t(k)=-1$ thì sao ?)

Mình đề nghị ở $\textbf{TH2}$ ($f(0)=1$ ; $t(n)=\pm 1$) giải quyết như sau :

Từ $f(f(n))-n=2\ t(n)$ cho $n=-t(n)$ thì được :

$f(0)+t(n)=2\ t(-t(n))$ hay $1+t(n)=2\ t(-t(n))$ (*)

Thay $t(n)=-1$ vào (*) ---> không thỏa mãn ---> loại ---> $t(n)=1$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-06-2015 - 22:06

Chỗ đó perfectstrong phản chứng rồi còn gì? Nếu không tồn tại $t(k)=-1$ thì hiển nhiên $t(n)\ne -1$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#9 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 20-06-2015 - 22:12

Bài này em lấy từ Facebook anh Cẩn, đăng lên AoPS thì liên tục bị xoá. Hoá ra nó nằm trong IMO Shortlist 2014 người ta chưa công bố :)))


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#10 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 20-06-2015 - 23:15

Lời giải của bạn rất hay.Tuy nhiên đoạn trên chưa thuyết phục lắm (nếu không tồn tại số $k$ sao cho $t(k)=-1$ thì sao ?)

Mình đề nghị ở $\textbf{TH2}$ ($f(0)=1$ ; $t(n)=\pm 1$) giải quyết như sau :

Từ $f(f(n))-n=2\ t(n)$ cho $n=-t(n)$ thì được :

$f(0)+t(n)=2\ t(-t(n))$ hay $1+t(n)=2\ t(-t(n))$ (*)

Thay $t(n)=-1$ vào (*) ---> không thỏa mãn ---> loại ---> $t(n)=1$

Xin lỗi, ý mình chỗ đó là phản chứng như thầy Thanh nói :)) Tức là giả sử tồn tại một số $k$ để $t(k)=-1$ thì sẽ dẫn tới vô lý. Mà hàm số $t$ chỉ nhận giá trị $1$ hoặc $-1$ nên $t(n)=1 \forall n$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#11 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 21-06-2015 - 18:52

Kết hợp lời giải thầy Thanh và chanhquocnghiem.

Lời giải:

\[f:Z \to Z:{n^2} + 4f\left( n \right) = f{\left( {f\left( n \right)} \right)^2},\left( 1 \right)\]

\[ \Rightarrow 4f\left( n \right) = \left( {f\left( {f\left( n \right)} \right) - n} \right)\left( {f\left( {f\left( n \right)} \right) + n} \right)\]

Nếu $f(f(n))-n$ lẻ thì $f(f(n))+n=f(f(n))-n+2n$ cũng lẻ, do đó $4n$ lẻ: vô lý nên tồn tại hàm $t:Z \to Z$ thỏa $f(f(n))-n=2t(n) \Rightarrow f(f(n))=2t(n)+n$.

Thế vào (1), ta thu được: \[f\left( n \right) = t\left( n \right)\left( {t\left( n \right) + n} \right),\left( 2 \right)\]

Lại thay $n$ bởi $-t(n)$ vào (2), ta có\[f\left( { - t\left( n \right)} \right) = 0\forall n,\left( 3 \right)\]

Cho $n=0$ trong (2):\[f\left( 0 \right) = t{\left( 0 \right)^2}\]

Thay $n$ bởi $-t(n)$ trong (1), ta có:\[t{\left( n \right)^2} = f{\left( 0 \right)^2} \Rightarrow t\left( n \right) =  \pm f\left( 0 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = f{\left( 0 \right)^2} \Rightarrow f\left( 0 \right) \in \left\{ {0;1} \right\}\]

TH1: Nếu $f(0)=0$ suy ra $t\left( n \right) = 0\forall n$. Từ (2), ta có $f(n) =0\forall n$, dễ thấy hàm này không thỏa (1).

TH2: Nếu $f(0)=1$ thì $t(n)=\pm 1$

Trong (1), cho $n=0$: \[f{\left( {f\left( 0 \right)} \right)^2} = 4f\left( 0 \right) \Rightarrow f{\left( 1 \right)^2} = 4 \Rightarrow f\left( 1 \right) =  \pm 2\]

Mặt khác, nếu tồn tại $k$ sao cho $t(k)=-1$ thì thay $n$ bởi $k$ trong (3): \[f\left( { - t\left( k \right)} \right) = 0 = f\left( 1 \right):\text{mâu thuẫn}\]

Do đó $t(n)=1 \forall n$. Từ (2): $f(n)=n+1$

Thử lại:...

Cái đoạn thay $n$ bằng $-t(n)$ là hơi vô lý nếu như không chứng minh được tồn tại $n$ thỏa $n=-t(n)$ hay $f(f(n))=-n$

IMO Shortlist 2014 mà sao lại bị xóa vậy  :mellow:


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#12 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-06-2015 - 12:24

Cái đoạn thay $n$ bằng $-t(n)$ là hơi vô lý nếu như không chứng minh được tồn tại $n$ thỏa $n=-t(n)$ hay $f(f(n))=-n$

IMO Shortlist 2014 mà sao lại bị xóa vậy  :mellow:

À không phải vô lý đâu. (2) đúng với mọi $n \in Z$ nên khi thay $n$ bởi $-t(n)$ cũng không sao (2 chữ $n$ ở đây mang cùng biểu tượng chứ không mang cùng giá trị, giống như khi thay $x$ bởi một biểu thức khác của $x,...$ trong hàm số thôi).


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#13 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 22-06-2015 - 13:02

À không phải vô lý đâu. (2) đúng với mọi $n \in Z$ nên khi thay $n$ bởi $-t(n)$ cũng không sao (2 chữ $n$ ở đây mang cùng biểu tượng chứ không mang cùng giá trị, giống như khi thay $x$ bởi một biểu thức khác của $x,...$ trong hàm số thôi).

Bạn đặt $2t(n)=f(f(n))-n$ vậy thì $t(n)$ sẽ là một hàm số theo biến $n$. Ý bạn ở đây là muốn cho $t(n)+n=0$ nhưng mà $2(t(n)+n)=f(f(n))+n$ thì có nghĩa là $f(f(n))+n=0$ chứng tỏ phải chứng minh tồn tại một số $n$ thỏa $f(f(n))=-n$. Do đặt hàm $t(n)$ nên có thể bạn bị nhầm lẫn gì đó.  -_-


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#14 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-06-2015 - 22:10

Bạn đặt $2t(n)=f(f(n))-n$ vậy thì $t(n)$ sẽ là một hàm số theo biến $n$. Ý bạn ở đây là muốn cho $t(n)+n=0$ nhưng mà $2(t(n)+n)=f(f(n))+n$ thì có nghĩa là $f(f(n))+n=0$ chứng tỏ phải chứng minh tồn tại một số $n$ thỏa $f(f(n))=-n$. Do đặt hàm $t(n)$ nên có thể bạn bị nhầm lẫn gì đó.  -_-

Cảm ơn bạn. Mình cứ hay mắc cái lỗi này.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#15 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 25-06-2015 - 08:53

để hỏi a cẩn bài này luôn cho nhanh :v

Theo mình thì ta nên đặt $m=f(n)-n$ và $p=f(f(n))-f(n)$ ( $m,p$ là hai hàm số theo $n$)

Khi đó ta sẽ có $n^2+4(n+m)=(n+m+p)^2$ và giải bài này như một bài số học tìm nghiệm nguyên.


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#16 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 27-06-2015 - 11:08

phương trình trên có quá nhiều nghiệm nguyên mà 



#17 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-06-2015 - 14:54

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thoả :

$$n^2+4f(n)=\left [ f(f(n)) \right ]^2,\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Xét $F$ là tập giá trị của $f$, $m \in F$ thì tồn tại một số nguyên $n$ thỏa mãn $f(n)=m$. Ta có:

$$n^2+4m=f(m)^2 \Rightarrow 4m=(f(m)-n)(f(m)+n)$$

Khi đó tồn tại một số nguyên $t$ là ước của $m$ để mà $f(m)-n=2t,f(m)+n=\frac{2m}{t}$

Từ điều này suy ra $f(m)=t+\frac{m}{t}$

Mặt khác ta có: $m^2+4f(m)=f(f(m))^2 \Rightarrow m^2+4t+\frac{4m}{t}=f(f(m))^2$

$$1 \le t^2 \le m^2 \Rightarrow (t^2-1)(t^2-m^2) \le 0 \Rightarrow t^2+\frac{m^2}{t^2} \le m^2+1 \Rightarrow \left(t+\frac{m}{t} \right)^2 \le (m+1)^2$$

$$\Rightarrow -m-1 \le t+\frac{m}{t} \le m+1$$

Khi đó $4t+\frac{4m}{t}$ là một số nguyên chẵn khác 0 và $ -4m-4 \le 4t+\frac{4m}{t} \le 4m+4$, ta chú ý là $m^2+4t+\frac{4m}{t}$ là một số chính phương nên $t+\frac{m}{t}$ nhận một trong 3 giá trị là $0,1-m,m+1$

Vậy nhận xét đầu tiên là $f(m)$ nhận một trong 3 giá trị $0,1-m,1+m$ với $m \in F$.

Nhận xét thứ 2 là nếu $f(n)=n+1$ thì suy ra $f(n+1)=n+2$.

Vì từ biểu thức ban đầu ta suy ra $(n+2)^2=f(n+1)^2$

kết hợp với nhận xét 1 dẫn đến $f(n+1)=n+2$

Quay lại với nhận xét 1 thì $f(m)=1-m$ chỉ khi tồn tại $t$ nguyên để $t+\frac{m}{t}=1-m$ ta giải ra $m=6$

Suy ra $f(6)=-5$ và $f(-1)=6$ hoặc $f(1)=6$.

Tuy nhiên thay $n=6$ vào biểu thức ban đầu suy ra $16=f(-5)^2$, kết hợp nhận xét 1 suy ra $f(-5)=-4$.

Từ điều này và nhận xét 2 suy ra $f(-1)=0,f(1)=2$, mâu thuẫn.

Suy ra nhận xét 3 chặt hơn nhận xét 1 là $f(m)$ chỉ nhận giá trị là $0$ hoặc $m+1$ với $m \in F$

Dựa vào điều này không khó để chứng minh $f(0)$ chỉ nhận 2 giá trị là $0$ hoặc $1$ và suy ra được $f(m)=m+1$ với $m \ne 0, m \in F$.

Cụ thể hơn thì nếu $f(0)=0$ suy ra $f(a)=0 \Leftrightarrow a=0$

còn nếu $f(0)=1$ suy ra $f(a)=0 \Leftrightarrow a=-1$

Như vậy với một số $t \le F$ và $t \ne 0$ tồn tại $n$ để $f(n)=t$ ta có: $n^2+4t=(t+1)^2 \Rightarrow n^2=(t-1)^2$ suy ra $n=t-1$ hoặc $n=1-t$ tức là với $n \in Z$ thì $n=1-f(n)$ hoặc $n=f(n)+1$.

Nếu tập $F$ tồn tại một phần tử $k$ nhỏ nhất mà khác 0 (chú ý là từ nhận xét 2 nếu $k \in F$ và $k$ khác 0 thì mọi số lớn hơn $k$ đều thuộc $F$) thì do điều trên suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(1)=2$ nên $k \le 2$.

Với $k \le 1$ thì với $n \le k-2$, ta có $n+1<k$ nên $f(n)$ không thể bằng $n+1$ mà phải bằng $1-n \ge 3-k > k$

do $k \in F$ nên suy ra $f(k-1)=k$.

Như vậy một hàm thỏa mãn đề bài là $f(n)=1-n$ với $n \le k-2$ và $f(n)=1+n$ với $n \ge k-1$ trong đó $k$ là một số nguyên cố định bé hơn 2.

Với $ k =2$ thì $f(0)$ không thể bằng 1 nên $f(0)=0$ và $f(1)=2$, suy ra hàm thỏa mãn là $f(0)=0, f(n)=1-n, n \le 0$ và $f(n)=1+n$ với $n \ge 0$.

Nếu $F$ không có phần tử nhỏ nhất thì suy ra hàm $f$ là $f(n)=n+1$ với mọi số nguyên $n$.



#18 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 30-06-2015 - 03:49

Cho em hỏi tại sao $t+\frac{m}{t} \ne 0$?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#19 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-06-2015 - 16:15

Cho em hỏi tại sao $t+\frac{m}{t} \ne 0$?

đây chính là $f(m)$ và ở trên vẫn cho $f(m)$ có thể bằng $0$ cho đến một đoạn dựa vào $f(0)$ để lập luận $f(m)=m+1$ với $m$ khác 0.



#20 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 01-07-2015 - 01:49

Khi đó $4t+\frac{4m}{t}$ là một số nguyên chẵn khác 0

Ý em là chỗ này.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh