Cho$x,y> 0$ thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$.
CMR:$x^{3}+ y^{3}\leq 2$.Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Dinh Xuan Hung:Chú ý $\mathit{LaTex}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-06-2015 - 10:06
Cho$x,y> 0$ thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$.
CMR:$x^{3}+ y^{3}\leq 2$.Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Dinh Xuan Hung:Chú ý $\mathit{LaTex}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-06-2015 - 10:06
A naughty girl
Cho$x,y> 0$ thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$.
CMR:$x^{3}+ y^{3}\leq 2$.Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Dinh Xuan Hung:Chú ý $\mathit{LaTex}$
GT: $x^2+y^3\geq x^3+y^4$
Áp dụng bất đẳng thức $Bunhiakovsky$ (chỗ nào dùng được tô đỏ), ta có:
$(x^2+y^3)(x+y^2)\geq$$(x^3+y^4)(x+y^2)\geq (x^2+y^3)^2$
nên: $x+y^2\geq x^2+y^3$
$(x+y^2)(1+y)\geq$ $(x^2+y^3)(1+y)\geq (x+y^2)^2$
nên: $1+y\geq x+y^2$
Từ đó, rút ra: $1+y\geq x+y^2\geq x^2+y^3\geq x^3+y^4$
Ta có: $1+y\geq x^3+y^4$
Lại thấy: $y^4+1\geq y^3+y$ ($\Leftrightarrow (y-1)^2(y^2+y+1)\geq 0$ - Luôn đúng với mọi $y$)
Cộng vế theo vế, ta được:
$1+y+y^4+1\geq x^3+y^4+y^3+y$
$\Leftrightarrow x^3+y^3\leq 2$ (ĐPCM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 19-06-2015 - 11:33
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
Mình làm thế này đc ko:
Theo BĐT Cauchy ta có:
$x+x^{3}\geq 2x^{2}$;
$y^{2}+y^{4}\geq 2y^{3}$
$\Rightarrow x+x^{3}+y^{2}+y^{4}\geq 2x^{2}+2y^{3}$
$\Leftrightarrow x+y^{2}\geq \left ( x^{2}+y^{3} \right )+\left ( x^{2}+y^{3}- x^{3}-y^{4}\right )\geq x^{2}+y^{3}$( vì $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$)
Mà $x^{2}+1\geq 2x$; $y^{4}+1\geq 2y^{2}$ Nên:$x^{2}+1+y^{4}+1\geq 2x+2y^{2}\geq 2x^{2}+2y^{3}\geq x^{2}+y^{3}+x^{3}+y^{4}$
$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq 2$ Dấu bằng xảy ra khi x=y=1.
Dinh Xuan Hung:Mình đã dặn bạn phải chú ý $\LaTex$ mà (ấn nút sử để biết)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-06-2015 - 21:53
A naughty girl
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh