Đến nội dung

Hình ảnh

CMR:$x^{3}+ y^{3}\leq 2$.Dấu bằng xảy ra khi nào ?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
cachcach10x

cachcach10x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Cho$x,y> 0$ thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$.

CMR:$x^{3}+ y^{3}\leq 2$.Dấu bằng xảy ra khi nào ?

 

Dinh Xuan Hung:Chú ý $\mathit{LaTex}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-06-2015 - 10:06

A naughty girl :luoi:  :luoi:  :luoi:  


#2
vda2000

vda2000

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

Cho$x,y> 0$ thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$.

CMR:$x^{3}+ y^{3}\leq 2$.Dấu bằng xảy ra khi nào ?

 

Dinh Xuan Hung:Chú ý $\mathit{LaTex}$

GT: $x^2+y^3\geq x^3+y^4$

Áp dụng bất đẳng thức $Bunhiakovsky$ (chỗ nào dùng được tô đỏ), ta có:

$(x^2+y^3)(x+y^2)\geq$$(x^3+y^4)(x+y^2)\geq (x^2+y^3)^2$

nên: $x+y^2\geq x^2+y^3$

$(x+y^2)(1+y)\geq$ $(x^2+y^3)(1+y)\geq (x+y^2)^2$

nên: $1+y\geq x+y^2$

Từ đó, rút ra: $1+y\geq x+y^2\geq x^2+y^3\geq x^3+y^4$

Ta có: $1+y\geq x^3+y^4$

Lại thấy: $y^4+1\geq y^3+y$ ($\Leftrightarrow (y-1)^2(y^2+y+1)\geq 0$ - Luôn đúng với mọi $y$)

Cộng vế theo vế, ta được:

$1+y+y^4+1\geq x^3+y^4+y^3+y$

$\Leftrightarrow x^3+y^3\leq 2$ (ĐPCM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 19-06-2015 - 11:33

$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$

If you see this, you will visit my facebook.....!


#3
cachcach10x

cachcach10x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Mình làm thế này đc ko:

 Theo BĐT Cauchy ta có:

$x+x^{3}\geq 2x^{2}$;

$y^{2}+y^{4}\geq 2y^{3}$

$\Rightarrow x+x^{3}+y^{2}+y^{4}\geq 2x^{2}+2y^{3}$

$\Leftrightarrow x+y^{2}\geq \left ( x^{2}+y^{3} \right )+\left ( x^{2}+y^{3}- x^{3}-y^{4}\right )\geq x^{2}+y^{3}$( vì $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$)

Mà $x^{2}+1\geq 2x$; $y^{4}+1\geq 2y^{2}$ Nên:$x^{2}+1+y^{4}+1\geq 2x+2y^{2}\geq 2x^{2}+2y^{3}\geq x^{2}+y^{3}+x^{3}+y^{4}$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq 2$ Dấu bằng xảy ra khi x=y=1.

 

Dinh Xuan Hung:Mình đã dặn bạn phải chú ý $\LaTex$ mà (ấn nút sử để biết)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-06-2015 - 21:53

A naughty girl :luoi:  :luoi:  :luoi:  





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh